7 Uneigentliche Integrale

7.1 Anwendung von JORDAN’s Lemma im Fall 𝛼 = 0
7.2 Anwendung von JORDAN’s Lemma im Fall 𝛼 ≠ 0

7.1 Anwendung von JORDAN’s Lemma im Fall 𝛼 = 0

7.1.1 Stetige Funktionen

Das Lemma von JORDAN in seiner allgemeinen Form nach Gleichung 33 ermöglicht (unter den angezeigten Voraussetzungen) die Berechnung von uneigentlichen Integralen durch komplexe Integration. Um das Prinzip zu verdeutlichen befassen wir uns zuerst mit dem (einfachen) Spezialfall nach Gleichung 40, welcher die Berechnung des Integrals

∫︁ ∞ 𝑓(𝑥)d𝑥 . −∞

unter Umständen wesentlich vereinfacht.

PIC

Abbildung 3: Integrationsweg(e) für reelles 𝛼

Dazu soll auf dem geschlossenen Weg 𝐶 = 𝐶∞ → 𝐶𝑥 nach Abbildung 3 unter Zuhilfenahme des Residuensatzes integriert werden. Nun lassen wir 𝑟 → ∞ laufen, was die Residuen aller Singularitäten 𝑧𝑛 in der oberen komplexen Halbebene (Im(𝑧𝑛) > 0) adressiert.

∮ ∑︁ ∫︁ ∫︁ ∞ lim 𝑓(𝑧)d𝑧 = 2𝜋j res𝑧𝑛 𝑓(𝑧)= lim 𝑓(𝑧)d𝑧 + 𝑓 (𝑧)d𝑧 𝑟→ ∞ 𝐶 Im𝑧𝑛>0 𝑟︸→ˉ∞ˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉ𝐶ˉˉˉ∞ˉ︷︷ˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉ︸ − ∞ 0
(41)

Mit JORDAN’s Lemma erhält man als Berechnungsvorschrift:

∫︁ ∞ ∑︁ 𝑓 (𝑥)d𝑥 = 2𝜋j res𝑧𝑛 𝑓(𝑧). −∞ Im(𝑧𝑛)>0
(42)

Das Integral ∫ −∞∞𝑓(𝑥)d𝑥 kann also einzig und allein basierend auf der Kenntnis der Residuen (an den Singulärstellen 𝑧𝑛, die oberhalb der reellen Achse liegen) berechnet werden.

Voraussetzungen für die Anwendbarkeit Notwendige Bedingungen für die Anwendbarkeit von Formel 42 sind:

Kann man sogar absolute Konvergenz, d. h. ∫ −∞∞|𝑓(𝑥)|d𝑥 < ∞ nachweisen, dann ist wegen

||∫︁ ∞ || ∫︁ ∞ | 𝑓(𝑥)d𝑥| ≤ |𝑓 (𝑥)|d 𝑥 < ∞ | −∞ | −∞
(43)

der letzte Punkt der notwendigen Bedingungen (gewöhnliche Konvergenz) grundsätzlich erfüllt [16, § 4·43].

Die Eigenschaft der absoluten Konvergenz kann für ganz bestimmte Klassen von Funktionen generell nachgewiesen werden, wovon eine z. B. die mit der “Abkling”-Charakteristik

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ist [8, S. 20.2]. Wir betrachten also die Beschränktheit von |𝑥𝜎 𝑓(𝑥)| unter der Maßgabe, daß sich eine Zahl 𝜎(𝑥) > 1 (wie gefordert) für jeden Wert 𝑥 > 𝛼 finden läßt. Ist dem so, dann gilt im offenen Intervall 𝛼 > 0 die Relation

∫︁ ∫︁ ∞ 𝑟 −𝜎 𝛼 |𝑓 (𝑥)|d𝑥 ≤ l𝑟im→∞ 𝛼 𝑀𝑥 d𝑥

und mit

∫︁ 𝑟 ||𝑟 ( ) lim 𝑀𝑥−𝜎 d𝑥 = 𝑀 lim --1--𝑥1−𝜎| = -𝑀--- lim 𝑟1−𝜎 − 𝛼1−𝜎 = -𝑀---𝛼1−𝜎 𝑟→∞ 𝛼 𝑟→ ∞ 1− 𝜎 |𝛼 1− 𝜎 𝑟→ ∞ 𝜎 − 1

kann die absolute Konvergenz entlang des positiven Teils der reellen Achse (𝑥 > 0) nachgewiesen werden.32

∫︁ ∞ --𝑀-- 1−𝜎 +0 |𝑓(𝑥)|d 𝑥 ≤ 𝜎 − 1 𝛼li→m+0 𝛼 < ∞

Gleichzeitig wird die Bedingung von JORDAN’s Lemma erfüllt, denn:

||1−𝜎 𝜎|| 1−𝜎 l𝑧im→∞ |𝑧 𝑓(𝑧)|= l𝑧→im∞ 𝑧 𝑓 (𝑧) 𝑧 ≤ 𝑀 l𝑧im→∞ |𝑧| = 0 .

In ähnlicher Art und Weise ist bei exponentiell abfallenden Funktionen die absolute Konvergenz dadurch gegeben, daß sie (wenn eine Zahl 𝜎(𝑥) > 1 existiert) für |𝑥| → ∞ die Ungleichung |e 𝜎|𝑥| 𝑓(𝑥)| ≤ 𝑀 < ∞ erfüllen.33 Denn setzt man diese Relation in Ungleichung 43 ein

∫︁ ∞ ∫︁ ∞ −𝜎 |𝑥| |𝑓(𝑥)|d 𝑥 ≤ 𝑀 e d𝑥 −∞ −∞

und löst das rechtsseitige Integral auf,

∫︁ ∫︁ ( ) ∞ −𝜎|𝑥| ∞ −𝜎𝑥 𝑀-- −𝜎𝑥 𝑇 𝑀-- −𝜎𝑇 𝑀-- −∞ 𝑀 e d𝑥 = 2𝑀 0 e d𝑥 = − 𝜎 l𝑇im→∞ e |0 = 𝜎 1 − l𝑇i→m∞ e = 𝜎

so wird die Beschränktheit des Ergebnisses erkennbar.

|∫︁ | || ∞ || 𝑀-- | −∞ 𝑓(𝑥)d𝑥|≤ 𝜎 < ∞
7.1.2 Gebrochen rationale Funktionen

Speziell für gebrochen rationale Funktionen ist es durch Hinzunahme von Beziehung 30 möglich, noch folgende Vereinfachung anzugeben (vorausgesetzt alle Pole sind von erster Ordnung):

∫︁ ∞ ∑︁ 𝑝(𝑥)d𝑥 = 2𝜋j 𝑝(-𝑧𝑛). − ∞ 𝑞(𝑥) Im(𝑧𝑛)>0𝑞′(𝑧𝑛)

Die Bedingung lim 𝑟→∞𝑧𝑓(𝑧) = 0 kann man bei (echt) gebrochen rationalen Funktionen dahingehend konkretisieren, daß der Grad des Nennerpolynoms 𝑞(𝑥) um mindestens zwei größer als der des Zählerpolynoms 𝑝(𝑥) sein muß.

7.1.3 Halbanalytische Funktionen34

Oben halbanalytische Funktionen Für eine in der oberen komplexen Halbebene analytische Funktion 𝑓(𝑧) kann man unter bestimmten Voraussetzungen jeden Funktionswert im Gebiet Im(𝑧) > 0 durch Integration entlang der reellen Achse berechnen. Dazu soll (wie bei der Herleitung von CAUCHY’s Integralformel 14) eine neue Funktion

-𝑓(𝑧) 𝑔(𝑧)= 𝑧 − 𝑧 0
(44)

definiert sein, für die wir zunächst das Residuum an der (einzigen) Singularität 𝑧0 bestimmen (vgl. Formel 29).

[ 𝑓(𝑧) ] res𝑧0 𝑔(𝑧)= lim [(𝑧− 𝑧0)𝑔(𝑧)]= lim (𝑧− 𝑧0)----- = 𝑓 (𝑧0) 𝑧→ 𝑧0 𝑧→ 𝑧0 𝑧− 𝑧0

Einsetzen in den Ausgangspunkt des allgemeinen Falls (𝛼 = 0) nach Gleichung 41 führt mit dem Integrationsweg laut Abbildung 3 zu:

∮ ∫︁ ∫︁ ∞ ∫︁ ∞ lim 𝑔(𝑧)d𝑧 = 2 𝜋j𝑓 (𝑧0)= lim 𝑔(𝑧)d 𝑧+ 𝑓-(𝑧)d 𝑧 = -𝑓(𝑥)-d𝑥 . 𝑟→∞ 𝐶 𝑟→ ∞ 𝐶∞ −∞ 𝑧− 𝑧0 −∞ 𝑥 − 𝑧0 ︸ˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉ︷ ︷ˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉ︸ 0

Im Ergebnis erhält man CAUCHY’s Integralformel in der Halbebene Im(𝑧0) > 0 nach [3, S. 119].35

∫︁ ∞ 𝑓(𝑧0)= -1- -𝑓(𝑥)-d𝑥, Im(𝑧0)> 0 2𝜋j −∞ 𝑥 − 𝑧0
(45)

Rechts halbanalytische Funktionen Sollte 𝑓(𝑧) entgegen der bisherigen Ausführungen im Gebiet Re(𝑧0) > 0 analytisch sein, dann integriert man auf einem Halbkreis in der rechten Halbebene entsprechend Abbildung 5. Die einzige Singularität 𝑧0 liegt (wieder) innerhalb der Kurve 𝐶 = 𝐶𝑦 → 𝐶∞ und hat, nimmt man CAUCHY’s Integralformel 13 sowie Gleichung 21 zu Hilfe,36 das Residuum

∮ -1- -𝑓(𝑧) res𝑧0 𝑔(𝑧)= 2𝜋j 𝐶 𝑧 − 𝑧0 d𝑧 = 𝑓 (𝑧0).

Nach dem Residuensatz (und bei Anwendung von JORDAN’s Lemma für den Fall eines positiv imaginären 𝛼, vgl. Abschnitt 6) ergibt sich daraus

∫︁ ∫︁ ∫︁ j∞ 𝑓-(𝑧)-d𝑧 − -𝑓(𝑧) d𝑧 = − 𝑓-(𝑧)d𝑧 = 2𝜋j res 𝑓-(𝑧) = 2𝜋j𝑓(𝑧 ) 𝐶∞ 𝑧− 𝑧0 𝐶𝑦𝑧 − 𝑧0 −j∞ 𝑧− 𝑧0 𝑧0𝑧− 𝑧0 0

und somit für den Funktionswert an der Stelle 𝑧0:

1 ∫︁ j∞ 𝑓(𝑧) 𝑓(𝑧0)= −--- -----d𝑧, Re(𝑧0) > 0 . 2𝜋j −j∞ 𝑧− 𝑧0
(46)

Nimmt man noch die Ersetzung 𝑧 = j𝑦 vor, so läßt sich die Integration entlang der imaginären Achse auf eine reelle Integrationsvariable abbilden (siehe auch Tabelle 1).

-1-∫︁ ∞ -𝑓(j𝑦) 𝑓 (𝑧0)= − 2𝜋 j𝑦− 𝑧 d𝑦, Re(𝑧0)> 0 −∞ 0
(47)

Abhängigkeit zwischen Real- und Imaginärteil Gehen wir jetzt nocheinmal zum Fall Im(𝑧0) > 0, d. h. in die obere Halbebene zurück und betrachten Formel 45 mit Blick auf die Lage von 𝑧0.37 Nehmen wir (im Gegensatz zu den bisherigen Ausführungen) an, der Punkt 𝑧0 läge in der unteren Halbebene und bezeichnen ihn der besseren Unterscheidbarkeit wegen mit 𝑧1 = 𝑥1 + j𝑦1. Aufgrund des Fehlens von Singularitäten innerhalb der Kurve 𝐶 (siehe Abbildung 3, 𝑓 ist in der oberen Halbebene als analytisch vorausgesetzt), muß nach dem Satz von CAUCHY das Integral

∮ ∫︁ ∞ -𝑓(𝑧) d𝑧 = 𝑓-(𝑥)d𝑥 = 0 𝐶 𝑧 − 𝑧1 −∞ 𝑥 − 𝑧1

verschwinden. Bringt man diese Gleichung in Zusammenhang mit dem Punkt 𝑧0 nach Formel 45 auf einen gemeinsamen Nenner,

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so läßt sich aus der rechtsseitigen38 Beziehung die Äquivalenz

1 ∫︁ ∞ 𝑥 𝑓(𝑥) 1 ∫︁ ∞ 𝑧 𝑓(𝑥) --- --------------d𝑥 = --- -----0--------d𝑥 2𝜋j −∞ (𝑥 − 𝑧0)(𝑥 − 𝑧1) 2𝜋j −∞ (𝑥 − 𝑧0)(𝑥 − 𝑧1)
(48)

ermitteln. Deshalb kann man für den Funktionswert an der Stelle 𝑧0 schreiben:

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Wählt man den Punkt 𝑧1 jetzt noch (gezielt) als Spiegelung von 𝑧0 an der reellen Achse (𝑧1 = 𝑥0 −j𝑦0 = 𝑧0∗), so ergibt einfaches Einsetzen

1 ∫︁ ∞ (𝑧 − 𝑧∗)𝑓 (𝑥) 1 ∫︁ ∞ (𝑧 − 𝑧 ∗)𝑓(𝑥) 𝑓 (𝑧0)= --- --0---0-----∗--d𝑥 =--- ---0---0------∗ d𝑥, 2𝜋j −∞ (𝑥 − 𝑧0)(𝑥 − 𝑧0) 2𝜋j −∞ (𝑥 − 𝑧0)(𝑥 − 𝑧0)

was zu folgenden Berechnungsformeln für 𝑓(𝑧0) führt [3, S. 119]:

1 ∫︁ ∞ 𝑦 𝑓(𝑥) 1 ∫︁ ∞ (𝑥 − 𝑥 )𝑓 (𝑥) 𝑓 (𝑧0)= -- --0---2-d𝑥 = -- -----0---2--d𝑥, 𝑦0 > 0 . 𝜋 −∞ |𝑥 − 𝑧0| 𝜋j −∞ |𝑥 − 𝑧0|
(49)

Durch Einsetzen von 𝑓(𝑥+j𝑦) = 𝑢(𝑥,𝑦) +j𝑣(𝑥,𝑦) lassen sich außerdem die Darstellungsformen

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gewinnen, wobei die Realteil-Beziehung auch POISSON’s Integralformel für die Halbebene genannt wird.39 Durch getrennte Betrachtung von Real- und Imaginärteil erhält man daraus die Formeln

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welche durch Einsetzen in 50 und 51 die Berechnung des Funktionswertes 𝑓(𝑧0) = 𝑢(𝑥0,𝑦0)+j𝑣(𝑥0,𝑦0) aus den Randwerten nur einer Komponente ermöglichen.

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Letztere Beziehungen eröffnen in Verbindung mit Gleichung 5 außerdem die Möglichkeit der Differentiation von 𝑓(𝑧) an jeder Stelle 𝑧0 mit Im(𝑧0) > 0 ausgehend von den Randwerten nur einer Komponente.40

d𝑓(𝑧 ) 1 ∫︁ ∞ 𝜕 [𝑢(𝑥,0)] 1 ∫︁ ∞ 𝑢(𝑥,0) ----0-= -- ---- ------ d𝑥 = -- ------2-d𝑥 d𝑥0 𝜋j −∞ 𝜕𝑥0 𝑥 − 𝑧0 𝜋j −∞ (𝑥 − 𝑧0)
(55)

Tabelle 1: Berechnungsformeln für halbanalytische Funktionen
Bedingung
𝑓(𝑧) =
lim |𝑧|→∞ Im(𝑧)>0 𝑓(𝑧) = 0 -1- 2𝜋j ∫︁ −∞∞𝑓(𝜉) 𝜉− 𝑧d𝜉 1 𝜋∫︁ −∞∞𝑦𝑓(𝜉)2- |𝜉 − 𝑧| d𝜉 1- 𝜋j ∫︁ −∞∞Re[𝑓(𝜉)] 𝜉− 𝑧d𝜉
− 1 2𝜋∫︁ −j∞j∞𝑓(j𝜉) j𝜉− 𝑧d𝜉 1 𝜋j ∫︁ −∞∞(𝜉− 𝑥)𝑓(𝜉) --|𝜉− 𝑧|2- d𝜉 1 𝜋∫︁ −∞∞Im[ 𝑓(𝜉)] -𝜉-− 𝑧-d𝜉
lim |𝑧Im|(→𝑧)∞<0 𝑓(𝑧) = 0 −-1- 2𝜋j ∫︁ −∞∞𝑓(𝜉) 𝜉− 𝑧d𝜉 −1 𝜋∫︁ −∞∞𝑦𝑓-(𝜉)- |𝜉 − 𝑧|2 d𝜉 −1- 𝜋j ∫︁ −∞∞Re[𝑓(𝜉)] 𝜉− 𝑧d𝜉
-1 2𝜋∫︁ −j∞j∞𝑓(j𝜉) j𝜉− 𝑧d𝜉 −1- 𝜋j ∫︁ −∞∞(𝜉−-𝑥)𝑓(𝜉) |𝜉− 𝑧|2 d𝜉 1 𝜋∫︁ −∞∞Im[-𝑓(𝜉)] 𝜉 − 𝑧d𝜉
lim |𝑧|→ ∞ Re(𝑧)>0 𝑓(𝑧) = 0 −-1- 2𝜋j ∫︁ −j∞j∞𝑓(𝜉)- 𝜉− 𝑧d𝜉 1 𝜋∫︁ −∞∞𝑥𝑓(j𝜉) |j𝜉− 𝑧|2 d𝜉 −1 𝜋∫︁ −∞∞Re[𝑓(j𝜉)]- j𝜉− 𝑧d𝜉
−-1 2𝜋∫︁ −∞∞𝑓(j𝜉) j𝜉− 𝑧d𝜉 −1- 𝜋j ∫︁ −∞∞(𝜉−-𝑦)𝑓-(j2𝜉) |j𝜉− 𝑧| d𝜉 1- 𝜋j ∫︁ −∞∞Im[𝑓(j𝜉)] j𝜉 − 𝑧d𝜉
lim |𝑧|→ ∞ Re(𝑧)<0 𝑓(𝑧) = 0 1 2𝜋j ∫︁ −∞∞𝑓(𝜉) 𝜉−-𝑧d𝜉 −1 𝜋∫︁ −∞∞𝑥𝑓 (j𝜉) |j𝜉−-𝑧|2 d𝜉 1 𝜋∫︁ −∞∞Re[𝑓 (j𝜉)] -j𝜉−-𝑧--d𝜉
1 2𝜋∫︁ −∞∞ 𝑓(j𝜉) j𝜉−-𝑧d𝜉 1 𝜋j ∫︁ −∞∞(𝜉− 𝑦)𝑓(j𝜉) --|j𝜉−-𝑧|2- d𝜉 −1 𝜋j ∫︁ −∞∞Im[𝑓(j𝜉)] --j𝜉-− 𝑧-d𝜉

Grenzfälle

  1. Sollte JORDAN’s Lemma wegen lim 𝑟→∞𝑓(𝑧) ≠ 0 einmal nicht anwendbar sein, dann muß das Integral ∫ 𝐶∞𝑓(𝑧)/(𝑧 − 𝑧0)d𝑧 für 𝑟 → ∞ berücksichtigt werden. Nehmen wir beispielhaft den Fall der rechtsseitig halbanalytischen Funktionen, dann hilft die Substitution 𝑧−𝑧0 = 𝑟e j𝜃 mit d𝑧 = j𝑟e j𝜃 d𝜃 weiter.

    pict

    Für den Spezialfall 𝑓(𝑧) = 1 kann man durch formales Einsetzen

    pict

    das uneigentliche Integral

    ∫︁ j∞ --d𝑧- = −j𝜋, 𝑥 > 0 −j∞ 𝑧 − 𝑧0 0
    		(56)

    ermitteln und dadurch auch ∫ 𝐶∞(𝑧−𝑧0)−1 d𝑧 = j𝜋 für Re(𝑧0) > 0 verifizieren.

  2. Alle Ausführungen zu analytischen Funktionen in der rechten Halbebene haben sich bisher auf Funktionswerte mit Re(𝑧0) > 0 beschränkt. Interessant z. B. für den Zusammenhang zwischen der FOURIER- und LAPLACE-Transformation sind aber auch die Funktionswerte auf der imaginären Achse Re(𝑧0) → 0. Dazu soll die Funktion 𝑓(𝑧)/(𝑧−𝑧0) auf dem Integrationsweg entsprechend Abbildung 4 betrachtet werden.

    PIC
    Abbildung 4: Integrationsweg mit Singularität auf imaginärer Achse

    Wegen der Holomorphieeigenschaft in der rechten Halbebene muß nach dem Satz von CAUCHY folgendes gelten:

    ∫︁ [∫︁ j(𝑦0−𝜀) ∫︁ j∞ ∫︁ ] − lim + + = 0 . 𝐶∞ 𝜀→∞ −j∞ j(𝑦0+𝜀) 𝐶𝜀

    Das Integral auf dem Weg 𝐶∞ verschwindet nach JORDAN’s Lemma für 𝑟 → ∞, wenn lim 𝑟→∞𝑓(𝑧) = 0 angenommen werden kann. Die beiden Teilintegrale auf dem geraden Integrationsweg entlang der imaginären Achse stellen für 𝜀 → 0 genau einen CAUCHY’schen Hauptwert dar, was ihre Zusammenfassung ermöglicht.

    ∫︁ ∫︁ j∞ 𝑓-(𝑧)- -𝑓(𝑧) V.P. −j∞ 𝑧− 𝑧0 d𝑧 = −𝜀li→m0 𝐶𝜀 𝑧− 𝑧0 d𝑧
    		(57)

    Mit der Substitution 𝑧−𝑧0 = 𝜀e j𝜃, welche die gewünschte Integrationskurve verkörpert, nimmt das Integral auf dem Weg 𝐶𝜀 die Darstellung

    ∫︁ ∫︁ 𝜋 ( ) -𝑓(𝑧) d𝑧 = j 2𝑓 𝑧 + 𝜀 e− j𝜃 d𝜃 𝐶𝜀𝑧 − 𝑧0 − 𝜋 0 2

    an. Bildet man den Grenzwert 𝜀 → 0, so geht es (Stetigkeit von 𝑓 bei 𝑧0 vorausgesetzt) in

    ∫︁ ∫︁ 𝜋 lim -𝑓(𝑧) d𝑧 = j𝑓 (𝑧 ) 2 d𝜃 = j𝜋 𝑓(𝑧 ) 𝜀→0 𝐶𝜀𝑧 − 𝑧0 0 −𝜋2 0
    		(58)

    über, was sich auch als Spezialfall von CAUCHY’s Integralformel 13 deuten läßt.41 Einsetzen in unser Zwischenergebnis 57 ergibt:42

    ∫︁ j∞ 𝑓(𝑧) V.P. ----- d𝑧 = −j𝜋 𝑓(𝑧0) −j∞ 𝑧− 𝑧0

    und deshalb

    ∫︁ j∞ ∫︁ ∞ 𝑓(j𝑦 )= j-V.P. -𝑓-(𝑧)- d𝑧 =-jV.P. 𝑓(j𝑦)d𝑦 0 𝜋 −j∞ 𝑧 − j𝑦0 𝜋 −∞ 𝑦− 𝑦0
    		(59)

    für Punkte auf der imaginären Achse. Im Vergleich mit den für Re(𝑧0) > 0 gültigen Beziehungen (insbesondere dem Äquivalent zu 49 in Tabelle 1) läßt sich feststellen, daß der Grenzübergang

    -j ∫︁ ∞ (𝑦−-𝑦0)𝑓(j𝑦) j-∫︁ ∞ 𝑓-(j𝑦)- l𝑥im0→0 𝑓(𝑧0)= 𝜋 𝑥li0m→0 |j𝑦 − 𝑧 |2 d𝑦 = 𝜋 𝑦 − 𝑦 d𝑦, Re(𝑧0) ≥ 0 −∞ 0 −∞ 0

    genau mit dem Ergebnis für Re(𝑧0) = 0 übereinstimmt.

  3. Auf der Grundlage von Formel 59 kann man zeigen, daß Real- und Imaginärteil einer rechts halbanalytischen Funktion (entlang der imaginären Achse) über die HILBERT-Transformation verknüpft sind [2, S. 13].43 Die Behauptung ist unmittelbar zu verifizieren, wenn man 𝑓(j𝑦0) in Real- und Imaginärteil separiert

    ∫︁ ∫︁ 1- ∞ 𝑣(0,𝑦) j- ∞ 𝑢(0,𝑦) 𝑢(0,𝑦0)+ j𝑣(0,𝑦0)= − 𝜋 V.P. −∞ 𝑦 − 𝑦0 d𝑦 + 𝜋 V.P. −∞ 𝑦 − 𝑦0 d𝑦

    und beide Seiten der Gleichung betrachtet.

    pict

Voraussetzungen für die Anwendbarkeit Eine wesentliche Voraussetzung für das Verschwinden des Integrals auf dem Integrationsweg 𝐶∞ nach Abbildung 3 war nach dem Lemma von JORDAN: lim 𝑟→∞𝑧𝑔(𝑧) = 0. Für Funktionen, die in einer Halbebene uneingeschränkt analytisch sind, reduziert sich die Forderung allgemein auf

|| 𝑓(𝑧) || || 𝑓(𝑧) || lim ||𝑧----- ||= lim ||------ ||= lim |𝑓 (𝑧)|= 0 . |𝑧|→∞ 𝑧 − 𝑧0 |𝑧| → ∞ 1 − 𝑧0/𝑧 |𝑧| → ∞

Zu beachten ist dabei, daß |𝑧| → ∞ je nach Verlauf des halbkreisförmigen Integrationsweges noch mit einer anderen Bedingung, den Real- oder Imaginärteil von 𝑧 betreffend, zu kombinieren ist (vgl. Tabelle 1).

Weitere Voraussetzungen für die Anwendbarkeit der Berechnungsformeln bestehen darin, daß 𝑓(𝑧) auf dem jeweiligen Integrationsweg analytisch (sowie beschränkt) und das zugeordnete Integral konvergent sein muß (siehe auch Abschnitt 7.1.1.0).

7.2 Anwendung von JORDAN’s Lemma im Fall 𝛼 ≠ 0

Um JORDAN’s Lemma in seiner allgemeinen Form anzuwenden, wollen wir den Prozeß jetzt etwas umdrehen und zuerst eine komplexe Funktion 𝑤(𝑧) = e j𝛼𝑧𝑓(𝑧) definieren. Im nächsten Schritt soll versucht werden, das Integral ∮ 𝐶 𝑤(𝑧)d𝑧 auf der geschlossenen Kurve 𝐶 = 𝐶∞ → 𝐶𝑥 nach Abbildung 3 für den Grenzfall 𝑟 → ∞ zu evaluieren.

∮ ∑︁ ∫︁ ∫︁ ∞ lim 𝑤(𝑧)d𝑧 = 2𝜋j res𝑧𝑛 𝑤( 𝑧)= lim ej𝛼𝑧 𝑓(𝑧)d𝑧+ ej𝛼𝑧 𝑓 (𝑧)d𝑧 𝑟→ ∞ 𝐶 Im(𝑧𝑛)>0 𝑟︸→ˉ∞ˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉ𝐶ˉˉˉˉ∞ˉˉˉˉˉˉ︷︷ˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉ&#x0 0

Ausgehend von dem Ergebnis

∑︁ [ ] ∫︁ ∞ 2𝜋j res𝑧𝑛 ej𝛼𝑧 𝑓 (𝑧) = ej𝛼𝑧 𝑓(𝑧)d𝑧, Im(𝑧𝑛)>0 −∞
(60)

wobei 𝑧𝑛 wieder die Pole (isolierte Singularitäten) der Funktion 𝑤(𝑧) repräsentiert, kann man jetzt noch in Gleichungen für den Real- und Imaginärteil separieren.

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Was hier als Ergebnis präsentiert wurde, hat (insbesondere Formel 60 betreffend) besondere Bedeutung für die inverse LAPLACE-Transformation [3, S. 81], [15, S. 2.4.4], [17, S. 2.22]. Unter anderem wird für die Voraussetzung 𝛼 > 0 von JORDAN’s Lemma deutlich, daß sich das Konvergenzverhalten des rechtsseitigen Integrals wegen der abgeschwächten Forderung lim 𝑟→∞𝑓(𝑧) = 0 deutlich verbessert.

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Abbildung 5: Integrationsweg(e) für imaginäres 𝛼

Die bis hierher gewonnenen Erkenntnisse bezüglich der Integration entlang der 𝑥-Achse lassen sich auch auf den Weg entlang der 𝑦-Achse entsprechend Abbildung 5 anwenden [17, S. 2.32]. Da nach dem Lemma von JORDAN auch in diesem Fall das Integral auf dem Weg 𝐶∞ verschwindet (vgl. letzter Absatz in Abschnitt 6, wenn 𝛼 negativ-imaginär ist), wird das uneigentliche Integral mit Hilfe der Singularitäten in der linken Halbebene berechenbar.

∮ ∫︁ ∫︁ ∑︁ j𝛼𝑧 j∞ 𝛽𝑧 𝑟l→im∞ 𝐶 𝑤( 𝑧)d 𝑧 = 2𝜋j res𝑧𝑛 𝑔(𝑧)= l𝑟i→m∞ 𝐶 e 𝑓(𝑧)d𝑧+ 𝑧=−j∞ e 𝑓 (𝑧)d𝑧 Re(𝑧𝑛)<0 ︸ˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉ∞ˉˉˉˉˉˉ︷︷ˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉ︸ 0
∫︁ j∞ 𝛽𝑧 ∑︁ [𝛽𝑧 ] e 𝑓 (𝑧)d 𝑧 = 2𝜋j res𝑧𝑛 e 𝑓(𝑧) , 𝛽 > 0 𝑧=−j∞ Re(𝑧𝑛)<0
(61)

Für die Fälle von JORDAN’s Lemma mit negativem 𝛼 (egal ob reell oder imaginär, vgl. Abschnitt 6) ist der entsprechende Weg 𝐶𝑥 bzw. 𝐶𝑦 negativ anzusetzen, wenn die ganze Kurve 𝐶 betrachtet wird. Aus diesem Grund sind entweder die Integrationsgrenzen oder das Vorzeichen des reellen/imaginären Integrals umzukehren.

Tabelle 2 gibt einen Überblick, was die Berechnung uneigentlicher Integrale mit Hilfe von JORDAN’s Lemma betrifft. Interessant ist speziell für den Fall 𝛼 = 0, daß es danach eine Verbindung zwischen den Residuen der Pole in der oberen und unteren bzw. linken und rechten Halbebene gibt:

∑︁ [ ] ∑︁ [ ] res𝑧𝑛 𝑓(𝑧) = − res𝑧𝑛 𝑓 (𝑧) . Im(𝑧𝑛)>0 Im(𝑧𝑛)<0

Tabelle 2: Berechnung uneigentlicher Integrale mit Hilfe von Residuen
𝛼 Berechnungsvorschrift Voraussetzung
pos.-reell ∫︁ −∞∞e j𝛼𝑧𝑓(𝑧)d𝑧 = 2𝜋j ∑︁ Im(𝑧𝑛)>0 res𝑧𝑛 [ ] ej𝛼𝑧 𝑓(𝑧) lim |𝑧|→ ∞ Im(𝑧)>0𝑓(𝑧) = 0
neg.-reell ∫︁ −∞∞e −j|𝛼|𝑧𝑓(𝑧)d𝑧 = −2𝜋j ∑︁ Im(𝑧𝑛)<0 res𝑧𝑛 [ ] e−j|𝛼|𝑧 𝑓(𝑧) lim |𝑧|→ ∞ Im(𝑧)<0𝑓(𝑧) = 0
pos.-imag. ∫︁ −j∞j∞e −|𝛼|𝑧𝑓(𝑧)d𝑧 = −2𝜋j ∑︁ Re(𝑧𝑛)>0 res𝑧𝑛 [ −| 𝛼|𝑧 ] e 𝑓(𝑧) lim |𝑧Re|→(𝑧)∞>0𝑓(𝑧) = 0
neg.-imag. ∫︁ −j∞j∞e |𝛼|𝑧𝑓(𝑧)d𝑧 = 2𝜋j ∑︁ Re(𝑧𝑛)<0 res𝑧𝑛 [|𝛼|𝑧 ] e 𝑓(𝑧) lim |𝑧Re|→(𝑧)∞<0𝑓(𝑧) = 0
0 ∫︁ −∞∞𝑓(𝑥)d𝑥 = 2𝜋j ∑︁ Im(𝑧𝑛)>0 res𝑧𝑛 𝑓(𝑧) lim |Im𝑧(|→𝑧∞)>0𝑧𝑓(𝑧) = 0
0 ∫︁ −∞∞𝑓(𝑥)d𝑥 = −2𝜋j ∑︁ Im(𝑧𝑛)<0 res𝑧𝑛 𝑓(𝑧) lim |𝑧|→∞ Im(𝑧)<0𝑧𝑓(𝑧) = 0
0 ∫︁ −j∞j∞𝑓(𝑦)d𝑦 = −2𝜋j ∑︁ Re(𝑧𝑛)>0 res𝑧𝑛 𝑓(𝑧) lim |𝑧|→∞ Re(𝑧)>0𝑧𝑓(𝑧) = 0
0 ∫︁ −j∞j∞𝑓(𝑦)d𝑦 = 2𝜋j ∑︁ Re(𝑧𝑛)<0 res𝑧𝑛 𝑓(𝑧) lim |𝑧|→∞ Re(𝑧)<0𝑧𝑓(𝑧) = 0