Holomorphe bzw. analytische Funktionen2 sind solche, deren Grenzwert
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existiert und eindeutig ist, die also an der Stelle 𝑧 differenzierbar sind. Man fordert hierbei nicht unbedingt, daß 𝑓(𝑧) für alle 𝑧 einen solchen Grenzwert hat – man kann sich auch auf ein bestimmtes Gebiet beschränken.3 Die “Einwertigkeit” des Grenzwertes (One-Valued) spielt auf Funktionen an, bei denen er davon abhängt, aus welcher Richtung man sich nähert. Er kann sogar dann existieren, wenn der Funktionswert selbst nicht existiert (wie z. B. sin 𝑧/𝑧 an der Stelle 𝑧 = 0). Nicht analytisch sind unter anderen die Funktionen 1/(𝑧−𝑎) bei 𝑎 oder auch log 𝑧 für 𝑧 = 0.
Eine Schlußfolgerung von B. RIEMANN in Bezug auf die “Einwertigkeit” des Differentialquotienten (nach Gleichung 1) der analytischen Funktion 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥,𝑦) + j𝑣(𝑥,𝑦) mit 𝑧 = 𝑥 + j𝑦 war, daß bei Annäherung in 𝑥-Richtung, also bei konstantem 𝑦 (horizontal) der gleiche Grenzwert gelten muß, wie bei Annäherung aus 𝑦-Richtung (bei konstantem 𝑥, also vertikal).4
Vergleich von Real- und Imaginärteil liefert die CAUCHY-RIEMANN’schen Differentialgleichungen5
und wegen der Unabhängigkeit des Grenzwertes von jedweder Annäherungsrichtung (d𝑓/d𝑧 = 𝜕𝑓/𝜕𝑥 = 𝜕𝑓/𝜕(j𝑦)) außerdem
bzw.
Differenziert man beide Teile der CAUCHY-RIEMANN’schen Differentialgleichungen 3 jeweils nach 𝑥 und 𝑦
und addiert/subtrahiert sie daraufhin diagonal, so erhält man (wegen der Vertauschbarkeit der Reihenfolge von partiellen Ableitungen, Satz von SCHWARZ):
Real- und Imaginärteil analytischer Funktionen sind harmonische bzw. Potentialfunktion, d. h. sie genügen den LAPLACE-Gleichungen Δ𝑢 = 𝑢𝑥𝑥 +𝑢𝑦𝑦 = 0 und Δ𝑣 = 𝑣𝑥𝑥 +𝑣𝑦𝑦 = 0. Außerdem ist wegen
auch 𝑓′(𝑧) und jede weitere Ableitung wieder analytisch.
Nimmt man 𝑓(𝑧) als Abbildung des Vektors z = (𝑥,𝑦)T auf f = (𝑢,𝑣)T wahr, dann ist oftmals die Funktionaldeterminante (JACOBI-Determinante) von besonderem Interesse.6 Gerade für analytische Funktionen hat sie eine sehr einfache Lösung, welche sich ebenfalls aus den CAUCHY-RIEMANN’schen Differentialgleichungen ableitet.
Eine Schlußfolgerung ist die, daß für alle Punkte 𝑧 der komplexen Ebene, an denen 𝑓′(𝑧) eine Wert ungleich Null hat, die Funktionaldeterminante nicht verschwindet.7 Sollte 𝑓′(𝑧) in der Umgebung von 𝑧 außerdem noch stetig sein, dann existiert eine (eindeutige) Umkehrfunktion 𝑧 = 𝜓(𝑓) für alle 𝑓 ∈ C\{0}.
Besondere Bedeutung für viele Beweise der komplexen Analysis hat die Funktion (𝑧−𝑧0)𝑛. Hier soll einmal mit Hilfe der CAUCHY-RIEMANN’schen Differentialgleichungen deren Holomorphiegebiet bestimmt werden.8 Wir gehen dazu von Gleichung 2 aus und bilden die partiellen Ableitungen nach 𝑥 und 𝑦. Zur Vereinfachung soll die Exponentialdarstellung 𝑧−𝑧0 = 𝑟e j𝜃 verwendet werden, wobei berücksichtigt werden muß, daß eigentlich 𝑟 := 𝑟(𝑥,𝑦) und 𝜃 := 𝜃(𝑥,𝑦) gilt.
Für die Ableitung nach 𝑦 gibt es bis hierher keinen Unterschied, d. h.
Setzen wir jetzt (kurz) 𝑧0 = 0 und erarbeiten die Zusammenhänge zwischen den Differentialen der arithmetischen und der Exponentialform für 𝑧 = 𝑥 +j𝑦 = 𝑟e j𝜃. Dazu soll von den bekannten Formeln
ausgegangen und dann die Ableitungen gebildet werden.
Jetzt können die so gewonnenen Ausdrücke eingesetzt werden, was mit 𝑧0 = 𝑥0 + j𝑦0 zu
führt.9 Ähnlich wird mit der Ableitung nach 𝑦 verfahren, nur das gedanklich noch der Zwischenschritt der Substitution nach j𝑦 auszuführen ist.
Schlußfolgerung: (𝑧−𝑧0)𝑛 ist für positives 𝑛 an jeder Stelle 𝑧 analytisch, denn es gilt Gleichung 2 in der Form:
Für den Fall 𝑛 < 0 ist 𝑓(𝑧) jedoch nur für 𝑧 ≠ 𝑧0 analytisch, denn beide Seiten der vorangegangenen Äquivalenz sind sonst unbestimmt. Ein sich daraus ergebendes Resultat, welches in Abschnitt 3 bewiesen wird, ist:
