Laurent-Reihe

3 LAURENT-Reihe

Bei der LAURENT-Reihenentwicklung wird davon ausgegangen, daß sich die komplexwertige Funktion 𝑓(𝑧) um einen Punkt 𝑧₀ ∈ C in eine unendliche Reihe der Form

∑︁∞ 𝑓 (𝑧)= 𝑎𝑛(𝑧 − 𝑧0)𝑛 𝑛=− ∞

(19)

entwickeln läßt [16, § 5·6,6·1], [3, S. 55]. Integriert man 𝑓(𝑧) auf der Kurve 𝐶 um 𝑧₀, wobei

𝑓(𝑧) innerhalb 𝐶 analytisch sein muß
und 𝐶 ein Kreis mit möglichst kleinem Radius sein soll,

dann ergibt sich mit der Darstellung

−2 −1 2 𝑓(𝑧)= ···+ 𝑎−2(𝑧− 𝑧0) + 𝑎 −1(𝑧 − 𝑧0) + 𝑎︸0ˉˉˉ+ˉˉˉˉˉˉˉ𝑎ˉˉˉ1ˉˉˉˉ(ˉˉ&#x02C𝑧− 𝑧0)+ 𝑎2(𝑧 − 𝑧0) + ··· Φ( 𝑧)

(20)

für das Integral:¹⁷

∮ [∮ ] ∮ ∮ ∑︁−2 𝑛 −1 𝐶 𝑓(𝑧)d𝑧 = 𝐶 𝑎𝑛(𝑧 − 𝑧0) d𝑧 + 𝐶 𝑎 −1(𝑧 − 𝑧0) d 𝑧+ 𝐶 Φ(𝑧)d 𝑧 . 𝑛=− ∞

Die Funktion Φ(𝑧) = ∑_𝑛≥0𝑎_𝑛(𝑧 −𝑧₀)^𝑛, der sogenannte Regulärteil, ist analytisch, weshalb dieses Integral verschwindet. Gleiches gilt für das Integral über den Hauptteil (ohne 𝑎₋₁) der LAURENT-Reihe

∑︁∞ ∮ --𝑎−𝑛---d𝑧 = 0, 𝑛=2 𝐶 (𝑧− 𝑧0)𝑛

was sich ausgehend von Substitutionsformel 11 nachweisen läßt.

Es bleibt also nur das Integral über 𝑎₋₁(𝑧−𝑧₀)⁻¹ übrig, dessen Wert nach CAUCHY’s Integralformel 13 genau 2𝜋j 𝑎₋₁ ist.¹⁸ Den Koeffizienten 𝑎₋₁ nennt man das Residuum von 𝑓(𝑧) an der Stelle 𝑧₀ und kürzt ihn (meist) mit res𝑧₀ 𝑓(𝑧) ab.

∮ ∮ 𝑎 𝑓(𝑧)d𝑧 = --−1-d𝑧 = 2𝜋j𝑎−1 = 2𝜋j res𝑧0 𝑓 (𝑧) 𝐶 𝐶 𝑧− 𝑧0

(21)

Wie bestimmen sich nun aber die anderen Koeffizienten 𝑎_𝑛? Zur Beantwortung dividieren wir einfach Gleichung 20 durch (𝑧−𝑧₀)^𝑛+1.

𝑓(𝑧) −2 −1 2 (𝑧−-𝑧-)𝑛+1 = ···+ 𝑎𝑛−1(𝑧− 𝑧0) + 𝑎𝑛(𝑧− 𝑧0) + 𝑎𝑛+1 + 𝑎𝑛+2(𝑧 − 𝑧0)+ 𝑎 𝑛+3(𝑧 − 𝑧0) + ··· 0

Integration über die neu gebildete Funktion (𝑧−𝑧₀)^{−(𝑛−1)}𝑓(𝑧) hat dieselbe Konsequenz wie vordem – es bleibt nur der Term mit dem Exponenten −1 übrig, d. h. sowohl Haupt- als auch Regulärteil verschwinden wieder.

∮ ---𝑓(𝑧)--- (𝑧 − 𝑧 )𝑛+1 d𝑧 = 2𝜋j𝑎𝑛 𝐶 0

Durch Kombination der Beziehungen kann man für die Koeffizienten 𝑎_𝑛 (𝑛 ∈ Z) jetzt eine gemeinsame Berechnungsvorschrift angeben.

1 ∮ 𝑓(𝑧) 𝑎𝑛 = 2𝜋j (𝑧-− 𝑧-)𝑛+1 d𝑧 𝐶 0

(22)

Aus vorangegangener Formel ist der Zusammenhang zwischen Holomorphie und Analytizität einer komplexen Funktion 𝑓(𝑧) erklärbar. Nehmen wir dazu an, daß 𝑓(𝑧) in 𝑧₀ holomorph ist – dann

verschwinden alle Koeffizienten 𝑎_𝑖 mit negativem Index (Satz von CAUCHY, Formel 10);
entsprechen die mit positivem Index genau den Koeffizienten einer TAYLOR-Reihe (bzw. MACLAURIN-Reihe im Komplexen, vgl. [3, S. 53]), wenn man Beziehung 16 berücksichtigt.¹⁹

∮ ꎧ||| -1- --𝑓-(𝑧)----d𝑧 = 𝑓-(𝑛)(𝑧0) (𝑛 ≥ 0) 𝑎 =|| 2𝜋j∮ 𝐶 (𝑧− 𝑧0)𝑛+1 𝑛! 𝑛 || -1- |𝑛| −1 ||⎩ 2𝜋j 𝐶 𝑓 (𝑧)(𝑧− 𝑧0) d𝑧 = 0 (𝑛 < 0)

(23)

Die LAURENT-Reihe entartet in diesem Sinne zu einer Potenzreihe, woraus folgt, daß die Funktion 𝑓(𝑧) analytisch ist. Sollte 𝑓(𝑧) im Punkt 𝑧₀ dagegen nicht holomorph sein, dann haben wir es mit einer Singularität zu tun, d. h. ihre LAURENT-Reihe ist von der TAYLOR-Reihe verschieden. Welche Fälle dabei zu unterscheiden sind, stellt der folgende Abschnitt dar.