Für eine analytische Funktion 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥,𝑦) +j𝑣(𝑥,𝑦) ist die Existenz einer Stammfunktion 𝐹(𝑧) = 𝑈(𝑥,𝑦) +j𝑉(𝑥,𝑦) mit 𝐹′(𝑧) = 𝑓(𝑧) dann gegeben, wenn die Integrabilitätsbedingung nach Gleichung 3 erfüllt und außerdem die partiellen Ableitungen stetig sind. Der erste Teil der Behauptung ist zu verifizieren, indem man mit d𝑧 = d𝑥 +j d𝑦 eine formale Zerlegung von 𝐹(𝑧) in Real- und Imaginärteil vornimmt [16, § 4·6].
Erinnern wir uns nun an die Aussage von Abschnitt 1.2, daß die Ableitung einer analytischen Funktion auch wieder analytisch ist, so gilt Gleichung 4 in der Form
und äquivalent dazu:
Mit diesen einfachen Resultaten kann man die Integranden in Formel 6 als Differentialformen10 in R2 ausdrücken.
Aus der Differential- und Integralrechnung mehrerer Veränderlicher (sowie Verallgemeinerungen wie der Vektoranalysis oder Differentialgeometrie) ist nun bekannt, daß für die totalen Differentiale d𝑈 und d𝑉 genau dann Stammfunktionen existieren, wenn 𝑈𝑥𝑦 = 𝑈𝑦𝑥 bzw. 𝑉𝑥𝑦 = 𝑉𝑦𝑥 gilt. Diese Bedingung ist für stetige Funktionen aber grundsätzlich (Satz von SCHWARZ) und für harmonische Funktionen erst recht erfüllt.
Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung existiert eine Verbindung zwischen der Stammfunktion und dem bestimmten Integral, welche unter bestimmten Bedingungen auch im komplexen Fall Gültigkeit hat [3, S. 42].
Anders als im eindimensionalen Fall muß man berücksichtigen, daß bei der Integration zwischen zwei Punkten (𝑧1,𝑧2 ∈ C) der Integrationsweg eine Rolle spielen kann. Ist er in Parameterform als 𝑧 = 𝑥+j𝑦 = 𝜑(𝑡) darstellbar, so gilt mit d𝑧 = 𝜑′(𝑡)d𝑡 für das Kurvenintegral (zweiter Art) allgemein:
![∫︁ ∫︁
𝐹(𝑧)= 𝑓(𝑧)d𝑧 = 𝑓 [𝜑(𝑡)]𝜑′(𝑡)d𝑡 .
𝐶 𝐶](analysis22x.png)
Sollte 𝑓(𝑧) aber analytisch auf der Kurve 𝐶 sein,11 dann ist das Integral wegunabhängig und man kann in gewohnter Art und Weise
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rechnen [3, S. 42]. Eine anschauliche Begründung steckt in den Beziehungen 𝑈𝑥𝑦 = 𝑈𝑦𝑥 bzw. 𝑉𝑥𝑦 = 𝑉𝑦𝑥, denn sie weisen auf infinitesimaler Ebene (im Sinne des RIEMANN’schen Differentialbegriffs) daraufhin, daß die “Fortschrittsrichtung” oder -Reihenfolge vollkommen unerheblich ist. Exakt kann die Wegunabhängigkeit z. B. mit Hilfe der Kettenregel für Funktionen mehrerer Veränderlicher bewiesen werden.12 Dazu gehen wir von der Parameterdarstellung 𝑧 = 𝜓(𝑡)+j𝜙(𝑡) für den Integrationsweg 𝐶 aus, bilden in einem zweiten Schritt die Ableitungen von 𝑈 bzw. 𝑉 nach 𝑡 und ersetzen anschließend die (entstehenden) partiellen Ableitungen durch 𝑢(𝑥,𝑦) und 𝑣(𝑥,𝑦) unter Zuhilfenahme von Beziehung 7.
Die letzten Ausdrücke stellen genau die Differentialformen in Formel 6 dar, was uns zum Ende des Beweises bringt.
Ist die Kurve 𝐶 sogar geschlossen, d. h. 𝑧2 nähert sich wieder 𝑧1, dann kommt man zum Hauptsatz der Funktionentheorie bzw. Satz von CAUCHY [16, § 5·2], [9, I–5, § 6], [3, S. 44–46]:
Ist 𝑓 eine Funktion von 𝑧, analytisch an allen Punkten auf und innerhalb der geschlossenen Kurve 𝐶, dann gilt:13
Sollte 𝑓(𝑧) im Inneren von 𝐶 nicht überall analytisch sein, dann kann das geschlossene Kurvenintegral einen Wert ungleich Null besitzen (siehe dazu Abschnitt 3).
Damit sind uns nunmehr drei gleichwertige Kriterien für den Nachweis, daß es sich bei 𝑓(𝑧) um eine analytische Funktion handelt, bekannt:
Als ein Resultat des Satzes von CAUCHY kann man jeden Wert 𝑓(𝑧), wobei die Funktion 𝑓 in der Umgebung von 𝑧 analytisch sei, durch ein Kurvenintegral ausdrücken. Dazu definiert man einfach 𝑓(𝑧)/(𝑧−𝑧0) als neue Funktion, welche im Punkt 𝑧0 nicht analytisch ist, und integriert auf einer den Punkt 𝑧0 einschließenden Kurve. Da sich der Integralsatz von CAUCHY nur auf Funktionen anwenden läßt, die im Inneren der Kurve 𝐶 analytisch sind, umgehen wir diese Widrigkeit wie in Abbildung 1 dargestellt. Dabei wird die Kurve 𝐶 zuerst in zwei halbkreisförmige Teilkurven 𝐶1 und 𝐶2 nach Teilbild 1a zerlegt.
(a) Offene
Kurven 
(b) Geschlossene
Kurven
Danach werden 𝐶1 und 𝐶2 entsprechend Abbildung 1b separiert und als Kurven so geschlossen, daß jede für sich analytisch ist. Außerdem sollen sich beide Kurven aus dem originalen Stück des äußeren Halbkreises, bezeichnet mit 𝐶1′ bzw. 𝐶2′ sowie dem inneren Halbkreis (inklusive der waagerechten Teilstücke) 𝐶1′′ bzw. 𝐶2′′ zusammensetzen. Dann gilt nach CAUCHY’s Integralsatz 10:
und deshalb
Mit der Substitution
kann man für jeden der Integralausdrücke auf den inneren Kurven
schreiben. Lassen wir jetzt den Radius 𝑟 gegen Null gehen, d. h. betrachten den Wert auf 𝐶𝜈′′ in der Umgebung von 𝑧0:
Da sich die Integrale auf dem analytischen Teil der “glattgezogenen” Kurven 𝐶𝜈′′ wegen der entgegengesetzten Richtung kompensieren, ergibt sich schlußendlich:
Ein ausschließlich rechnerischer Beweis ist folgendermaßen zu erbringen:
Der erste Summand stellt für 𝑧 → 𝑧0 eine hebbare Singularität dar (vgl. Abschnitt 4), d. h. der Grenzwert
existiert. Damit ist der Integrand eine analytische Funktion für 𝑧 → 𝑧0 und wegen des Satzes von CAUCHY das Integral
Der zweite Summand ist mit der Substitution 11
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und somit
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Benennt man noch die Variablen um (𝑧0 := 𝑧 und 𝑧 := 𝜉), dann erhält man die CAUCHY’sche Integralformel [3, S. 47].
Bei der Interpretation fällt sofort die bemerkenswerte Eigenschaft einer analytischen Funktion (innerhalb von 𝐶) auf, daß der Funktionswert 𝑓(𝑧0) eindeutig durch die Randwerte auf der Kurve 𝐶 bestimmt ist.
Die (erste) Ableitung einer analytischen Funktion kann man auch durch ein Kurvenintegral in der komplexen Ebene ausdrücken [16, § 5·22]. Um dies nachzuweisen, soll zuerst CAUCHY’s Integralformel 14 in die Definition der ersten Ableitung einer Funktion 𝑓 an der Stelle 𝑧 (1) eingesetzt werden.
![[∮ ∮ ]
𝑓′(𝑧)= lim 𝑓-(𝑧+-ℎ)−-𝑓(𝑧) = -1-lim 1- --𝑓(𝜉)--d𝜉 − 𝑓(𝜉)-d𝜉
ℎ→0 ℎ 2𝜋jℎ→0 ℎ 𝐶 𝜉 − 𝑧 − ℎ 𝐶 𝜉 − 𝑧](analysis40x.png)
Nun werden die Argumente beider Integrale auf einen gemeinsamen Nenner gebracht, dann im Zähler ausmultipliziert und zuletzt der Grenzwert aufgelöst.15
Der so gewonnene Ausdruck
ermöglicht die Berechnung der Ableitung von 𝑓 an jeder Stelle 𝑧 durch ein Kurvenintegral. Voraussetzung dafür ist nur, daß der Punkt 𝑧 in der komplexen Ebene von einem Integrationsweg eingeschlossen wird, auf deren Rande und in dessen Inneren 𝑓(𝑧) analytisch ist.
Durch erneute Anwendung der obigen Formeln kann man zur zweiten Ableitung 𝑓′′(𝑧) gelangen [16, § 5·22].
Für weitere Ableitungen ergibt sich in der Fortsetzung die Verallgemeinerte CAUCHY’sche Integralformel
welche durch vollständige Induktion beweisbar ist. Sie führt zu der wesentlichen Schlußfolgerung, daß eine analytische Funktion beliebig oft differenziert werden kann.16
Für den speziellen Fall, daß 𝐶 ein Kreis mit Radius 𝑟 um 𝑧 ist, kann man Beziehung 16 konkretisieren. Dazu ist die Substitution 𝜉 −𝑧 = 𝑟e j𝜃 und daraus abgeleitet d𝜉/d𝜃 = j𝑟e j𝜃 wieder hilfreich.
In letzter Formel (18) wird die sogenannte Mittelwerteigenschaft von 𝑓(𝑧) bei der Integration auf dem umschließenden Kreis deutlich.
