4 Residuensatz

Der Residuensatz ist eine logische Fortführung bzw. Anwendung der Erkenntnisse des vorigen Abschnittes, in welchem der Begriff des Residuums erstmalig auftauchte [6, S. III–6]. Er ermöglicht die einfache Berechnung von (geschlossenen) Kurvenintegralen, wenn innerhalb des Integrationsweges ein oder mehrere Singularitäten von 𝑓(𝑧) liegen.²⁰

Einleitend müssen wir uns aber mit der Frage befassen, wie sich der Einschluß mehrerer singulärer Punkte auf den Wert des umlaufenden Integrals auswirkt. Dazu soll im Beispiel nach Abbildung 2a um zwei solcher Punkte auf dem (geschlossenen) Weg 𝐶 integriert werden [11, S. 10.3].

Ist die Funktion 𝑓(𝑧) außer an den Singularitäten und insbesondere auf 𝐶 analytisch, dann kann man den Integrationsweg entsprechend Abbildung 2b verändern.²¹ Eine solche Wahl des Integrationsweges 𝐶 führt dazu, daß sich die Kurvenintegrale über 𝐶₃ und 𝐶₄ aufheben, also

gilt. Dieser Umstand ist graphisch in Abbildung 2c dargestellt und kann folgendermaßen zusammengefaßt werden:

Umschließt ein Kurvenintegral auf seinem Weg 𝑛 Singularitäten, dann kann dessen Wert durch separate Integration um alle 𝑛 singulären Punkte bestimmt werden.²²

(24)

Entwickelt man jetzt die Funktion 𝑓(𝑧) um die einzelnen Singularitäten herum zu einzelnen LAURENT-Reihen, so kann man mit Hilfe von Gleichung 21 den Residuensatz formulieren.

(25)

Wie berechnet man jedoch das Residuum an einem (isolierten) singulären Punkt ohne Kenntnis der LAURENT-Reihenentwicklung von 𝑓(𝑧)? Zur Beantwortung dieser Frage betrachten wir (die) drei Typen von Singularitäten 𝑧_𝑛, welche sich durch die Art des Hauptteils ℎ(𝑧) der LAURENT-Reihe von 𝑓(𝑧) unterscheiden [6, S. III–4.10].

4.1 Hebbare Singularitäten

Hebbare Singularitäten sind solche, für die 𝑓(𝑧) in der Umgebung von 𝑧₀ beschränkt (und in 𝑧₀ analytisch) ist [6, S. III–4.2]. Der RIEMANN’sche Hebbarkeitsatz formuliert die Eigenschaft folgendermaßen:

(26)

Existiert für 𝑓(𝑧) aufgrund der Holomorphieeigenschaft in 𝑧₀ die Ableitung 𝑓′(𝑧₀) und 𝑓(𝑧₀) ist beschränkt (lim _𝑧→𝑧0 < ∞), so verschwindet wegen des Satzes von CAUCHY der Hauptteil ℎ(𝑧) gänzlich und es gilt res𝑧₀ 𝑓(𝑧) = 0. Ein typischer Vertreter dieser Klasse von Singularitäten ist die Stelle 𝑧₀ = 0 der Spaltfunktion 𝑓(𝑧) = sin 𝑧/𝑧.²³

4.2 Pole

Singularitäten, bei denen man von einem Pol der Ordnung 𝑛 spricht (ein- oder mehrfacher Pol), sind durch den endlichen Hauptteil

gekennzeichnet.²⁴ Der Grund liegt in der Darstellungsmöglichkeit von 1/𝑓(𝑧) durch (𝑧 − 𝑧₀)^𝑛𝜓(𝑧) und demzufolge 𝑓(𝑧) = (𝑧 − 𝑧₀)^−𝑛𝜙(𝑧) mit 𝜙(𝑧) = 1/𝜓(𝑧). Die Funktion 𝜙(𝑧) ist bei 𝑧₀ selbst analytisch, denn alle Pole sind entsprechend ihrer Vielfachheit aus 𝑓(𝑧) “herausgezogen” und im Faktor (𝑧 − 𝑧₀)^−𝑛 enthalten. Deshalb kann 𝜙(𝑧) um 𝑧₀ in eine Potenzreihe entwickelt werden.²⁵

Die LAURENT-Reihe für 𝑓(𝑧) erhält dadurch die Form:

d. h. der Hauptteil ℎ(𝑧) umfaßt nur eine endliche Zahl von Koeffizienten 𝑎_𝑘. Diese Eigenschaft ermöglicht die Berechnung des Residuums auf der Grundlage der folgenden Formel:

(28)

Die dahinter steckende Idee besteht darin, 𝑓(𝑧) nach Gleichung 27 durch Multiplikation mit (𝑧 −𝑧₀)^𝑛 zu einer Polynomfunktion zu machen und dann den Koeffizienten 𝑎₋₁ durch 𝑛 −1 -malige Ableitung zu extrahieren. Die Richtigkeit kann man einfach durch Einsetzen von 𝑓(𝑧) nachweisen.

Differentiation der einzelnen Summanden, gefolgt von der Grenzwertbildung bestätigt Beziehung 28.

Beispiele von Funktionen mit Pol sind 𝑓(𝑧) = cosec 𝑧 bei 𝑧₀ = 𝑘𝜋 (Ordnung 𝑛 = 1) sowie 𝑓(𝑧) = (𝑧−1)⁻² für 𝑧₀ = 1 (Ordnung 𝑛 = 2).²⁶

Speziell für einfache Pole (𝑛 = 1) gilt:

(29)

was bei gebrochen rationalen Funktionen zu

(30)

führt [12, S. 9–III].²⁷

4.3 Wesentliche Singularitäten

Wesentliche Singularitäten sind solche, die weder hebbar noch ein Pol sind [12, S. 6–VIII], [6, S. III–4.3]. Der Hauptteil ℎ(𝑧) solcher Funktionen hat die Form

d. h. alle Koeffizienten 𝑎_−𝑘 existieren (und zwar unendlich viele). Das Residuum an der Stelle 𝑧₀ ist für diesen Typ von Funktion üblicherweise mittels Integrationsformel 21 zu bestimmen (wie z. B. für e ^{(1−𝑧)−1} an der Stelle 𝑧₀ = 1).

Besitzt eine Funktion 𝑓(𝑧) keine wesentlichen Singularitäten,²⁸ dann muß das Produkt (𝑧−𝑧₀)^𝑛𝑓(𝑧) die Hebbarkeitsbedingung

für irgendeine Zahl 𝑛 ∈ N erfüllen. Bei hebbaren Singularitäten stellt man fest, daß es sich mit 𝑛 = 1 genau um Formel 26 handelt, bei Polen läßt sich diese Bedingung aus Darstellung für 𝑓(𝑧) entsprechend Gleichung 27 ableiten.