Lemma von Jordan

6 Lemma von Jordan

Der Hilfssatz von C. JORDAN hat besondere Bedeutung bei komplexen Integralen, die teilweise im Unendlichen verlaufen. Er lautet:

Ist die Funktion 𝑓(𝑧) analytisch auf dem Integrationsweg 𝐶_∞ nach Abbildung 3 (obere Halbebene) mit 𝑟 → ∞ und hat für 𝛼 > 0 die Eigenschaft lim _𝑟→∞𝑓(𝑧) = 0 oder für 𝛼 = 0 gleichwertig lim _𝑟→∞𝑧𝑓(𝑧) = 0, dann gilt:

∫︁ j𝛼 𝑧 𝑟li→m∞ e 𝑓(𝑧)d𝑧 = 0, 𝛼 ∈ R . 𝐶∞

(33)

Für den Beweis gehen wir wie in [16, § 6·222] von

||∫︁ || lim | ej𝛼𝑧 𝑓 (𝑧)d𝑧| 𝑟→∞ | 𝐶∞ |

(34)

aus und bestimmen eine obere Schranke für den Grenzwert. Wie im ersten Punkt der Herleitung von LIOUVILLE’s Theorem gilt auch hier, daß der Betrag des Integrals kleiner als das Integral über den Betrag (des Integranden) ist.

||∫︁ || ∫︁ | | | | | | || ej𝛼𝑧 𝑓(𝑧)d𝑧||≤ |ej𝛼𝑧|·| 𝑓(𝑧)|·|d𝑧| 𝐶∞ 𝐶∞

Mit der Parameterdarstellung 𝑧 = 𝑟e ^j𝜃 = 𝑟cos 𝜃 +j𝑟sin 𝜃 des Integrationsweges 𝐶_∞, dem zugehörigen Differential d𝑧 = j𝑟e ^j𝜃d𝜃 sowie der Beziehung e ^j𝛼𝑧 = e ^{j𝛼𝑟 cos 𝜃} e ^{−𝛼𝑟 sin 𝜃} ergibt sich schließlich

||∫︁ || ∫︁ 𝜋 | ( )| ∫︁ 𝜋 | ej𝛼𝑧 𝑓 (𝑧)d𝑧|≤ 𝑟 e−𝛼𝑟sin𝜃 ||𝑓 𝑟ej𝜃 ||d𝜃 ≤ 𝑟 sup |𝑓(𝑧)| e−𝛼𝑟sin𝜃 d𝜃 . | 𝐶∞ | 0 𝑧∈𝐶∞ 0

(35)

Der Integrand des rechtsseitigen Integrals ist bezüglich des Ordinatenwertes 𝜃 = 𝜋/2 symmetrisch und kann deshalb zu 2 ∫ ₀ e ^{−𝛼𝑟 sin 𝜃} d𝜃 vereinfacht werden. Weiter kann man für das Intervall 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋/2 die Ungleichung sin 𝜃 ≥ 2𝜃/𝜋 heranziehen²⁹ und die Relation

∫︁ 𝜋 ∫︁ 𝜋 2 −𝛼𝑟sin𝜃 2 − 2𝛼𝑟𝜃 e d𝜃 ≤ e 𝜋 d𝜃 0 0

(36)

ableiten, welche nun bei der Berechnung des (vereinfachten) Integrals verwendet wird.

∫︁ 𝜋2 − 2𝛼𝑟𝜃 -𝜋- − 2𝛼𝑟𝜃||𝜋2 𝜋-- −𝛼𝑟 2 e 𝜋 d𝜃 = −𝛼 𝑟 e 𝜋 |𝜃=0 = 𝛼𝑟 (1− e ) 0

(37)

Einsetzen in Ungleichung 35 ergibt die Grenzwerte

was mehrere Fallunterscheidungen notwendig macht. Gemeinsam ist allen, daß es um Forderungen an die Funktion 𝑓(𝑧) mit 𝑧 ∈ 𝐶_∞ geht (d. h. 𝑧 = 𝑟e ^j𝜃), welche ein Verschwinden des letzten Ausdrucks bewirken und dadurch JORDAN’s Lemma bestätigen.

Im einfachsten Fall, d. h. für 𝛼 > 0 ist sofort ersichtlich, daß lim _𝑟→∞𝑓(𝑧) = 0 gelten muß. Außerdem ist erwähnenswert, daß Ungleichung 39 die bekannte Abschätzung lim _𝑟→∞|∫ _{𝐶_∞} e ^j𝑧 d𝑧| ≤ 𝜋 beinhaltet, welche sich für 𝛼 = 1 und 𝑓(𝑧) = 1 ergibt.
Werte 𝛼 < 0 führen zu folgenden Veränderungen an den bisherigen Formeln:
1. In Ungleichung 36 dreht sich das Relationszeichen.
2. Bildet man den Grenzwert lim _𝑟→∞ für Beziehung 37, dann ist das Ergebnis −∞.
3. Wegen der beiden vorangegangenen Punkte haben die Ungleichungen 38 und 39 keinen Bestand.
Aus diesem Dilemma kann man sich jedoch durch Drehung des Integrationsweges in die negativ-imaginäre Halbebene (angedeutet in Abbildung 3) befreien. Mit den Grenzen [𝜋,2𝜋] und der Substitution 𝜃 = 𝜙+𝜋 ist man in der Lage, den Ausgangspunkt nach Ungleichung 35 wiederherzustellen und die Beweisschritte vom Fall 𝛼 > 0 zu übernehmen.³⁰

$∫︁ ∫︁ ∫︁ 2𝜋 −𝛼𝑟sin𝜃 2𝜋 | 𝛼|𝑟sin𝜃 𝜋 −|𝛼| 𝑟sin𝜙 𝜋 e d𝜃 = 𝜋 e d𝜃 = 0 e d𝜙$
Sollte der Exponentialfaktor 𝛼 jedoch Null sein, dann verschwindet der Nenner auf der rechten Seite von Ungleichung 39 und man muß (schärfer noch) lim _𝑟→∞𝑧𝑓(𝑧) = 0 fordern. JORDAN’s Lemma 33 nimmt unter genannten Voraussetzungen die spezielle Form

$∫︁ lim 𝑓(𝑧)d𝑧 = 0 𝑟→∞ 𝐶∞$ (40)

an.
Läßt man (abweichend von der Voraussetzung) ein negativ-imaginäres 𝛼 zu, dann geht mit 𝛼 = −j 𝛽 der Betrag des Integrals nach Formel 34 in

$||∫︁ || ∫︁ 𝜋 | ( )| ∫︁ 𝜋 || e𝛽𝑧 𝑓(𝑧)d𝑧||≤ 𝑟 e𝛽𝑟cos𝜃||𝑓 𝑟ej𝜃 ||d𝜃 ≤ 𝑟 sup |𝑓(𝑧)| e𝛽𝑟cos𝜃 d𝜃 𝐶∞ 0 𝑧∈𝐶∞ 0$
über. Wegen des Cosinus-Terms im Exponenten wird JORDAN’s Lemma hier nicht zutreffen, was aber (wieder) durch Veränderung des Integrationsweges behoben werden kann. Dazu wählt man als Integrationsgrenzen [𝜋/2,3𝜋/2] und substituiert 𝜑 = 𝜃 − 𝜋/2 bzw. cos 𝜃 = −sin 𝜑. Durch den neuen Integrationsweg 𝐶_∞′ im Unendlichen (vgl. auch Abbildung 5) wird die ursprüngliche Form von Ungleichung 35 wieder hergestellt, womit der Beweis auf dem gewohnten Weg fortgesetzt werden kann.³¹