Spezielle Anwendungen

5 Spezielle Anwendungen

5.1 LTI-Systeme
5.2 Optimalfilter
5.3 Quantisierung
5.4 Pulsbreitendiskriminierung

5.1 LTI-Systeme

Bei den aus der Systemtheorie her bekannten linearen zeitinvarianten (LTI) Systemen (der Art von Abbildung 1) kann man die Frage stellen, wie ein Zufallsprozeß X(𝑡) am Eingang auf Y(𝑡) am Ausgang übertragen wird. Aus Sicht des Ein- und Ausgangssignals 𝑋(j𝜔) bzw. 𝑌(j𝜔) im Bildbereich wissen wir, daß ein solches System durch die Gleichung

𝑌(j𝜔)= H(j𝜔)𝑋(j𝜔)

beschrieben werden kann. Dabei ist H(j𝜔) die komplexe Übertragungsfunktion des Systems im Bildbereich der FOURIER-Transformation. Sicherlich rechtfertigt diese Beziehung auch den durch einfache Variablensubstitution entstehenden Ausdruck 𝑌(−j𝜔) = H(−j𝜔)𝑋(−j𝜔) oder äquivalent 𝑌∗(j𝜔) = H∗(j𝜔)𝑋∗(j𝜔). Multipliziert man jetzt die Gleichungen für 𝑌(j𝜔) und 𝑌∗(j𝜔) miteinander, dann erhält man den quadratischen Amplitudengang des Systems.

𝑌(j𝜔)𝑌∗(j𝜔) = H(j𝜔)H ∗(j𝜔) 𝑋(j𝜔)𝑋 ∗(j𝜔)
2 2 2
|𝑌 (j𝜔)| = |H(j𝜔)| |𝑋(j𝜔) |

Berücksichtigt man außerdem, daß

für stabile Systeme das FOURIER-Integral H(j𝜔) existiert;
für Leistungssignale die Fourier-Transformierten 𝑋(j𝜔) und 𝑌(j𝜔) nicht konvergieren;
die FOURIER-Transformierten der Autokorrelationsfunktionen 𝜑_𝑥𝑥(𝜏) und 𝜑_𝑦𝑦(𝜏) die spektralen Leistungsdichten S _𝑥𝑥(𝜔) und S _𝑦𝑦(𝜔) sind;

und bildet sowohl links- als auch rechtsseitig mit lim _𝑇→∞1/𝑇 den Grenzwert,

1- 2 2 1- 2 𝑇li→m∞ 𝑇|𝑌(j𝜔)| = |H(j𝜔) | l𝑇im→∞ 𝑇 |𝑋(j𝜔) |

so erhält man auf der Grundlage des WIENER-CHINTCHIN-Theorems (Gleichung 57) die Beziehung zwischen den spektralen Leistungsdichten der Ein- und Ausgangsprozesse im Frequenzbereich.

S𝑦𝑦(𝜔)= |H(j𝜔)|2 S𝑥𝑥(𝜔)

(58)

Im Zeitbereich ergibt sich daraus bei Anwendung des Faltungssatzes der FOURIER-Transformation

(−1){ } (−1){ 2} (−1) F S𝑦𝑦(𝜔) = F |H(j𝜔)| ∗F {S𝑥𝑥(𝜔)}

und so für die (zeitinvarianten) Autokorrelationsfunktionen:

{ } 𝜑 𝑦𝑦(𝜏)= F (−1) |H(j𝜔)|2 ∗ 𝜑𝑥𝑥(𝜏).

(59)

Bedenkt man noch, daß die Übertragungsfunktion eines LTI-Systems gleichzeitig die Fourier-Transformierte der Impulsantwort h(𝑡) ist,

und immer die Beziehung |H(j𝜔) | ² = H(j𝜔)H∗(j𝜔) gilt, so kann man (wieder mit dem Faltungssatz der FOURIER-Transformation) Gleichung 59 als zweifache Faltung darstellen.

𝜑 (𝜏)= (h∗h∗ ∗ 𝜑 )(𝜏) 𝑦𝑦 𝑥𝑥

(60)

Faßt man der Übersichtlichkeit halber noch (h ∗h∗)(𝜏) als Energie-AKF 𝜑_H^(𝐸)(𝜏) eines stabilen LTI-Systems nach Gleichung 54 zusammen,

(𝐸) ∗ F (𝐸) 2 𝜑H (𝜏)= (h ∗h)(𝜏) o--o S H (𝜔)= |H(j𝜔) |

(61)

so erhält man die WIENER-LEE-Beziehung in ihrer geläufigen Form.

𝜑 (𝜏)= (𝜑(𝐸)∗ 𝜑 )(𝜏) 𝑦𝑦 H 𝑥𝑥

(62)

Sind 𝑥(𝑡) und 𝑦(𝑡) Signale mit endlicher Energie, dann muß man (wie gewohnt) nur die Division durch lim _𝑇→∞𝑇 überall weglassen, was z. B. aus Formel 58

S(𝐸𝑦)𝑦 (𝜔)= |H(j𝜔)|2 S(𝑥𝐸𝑥)(𝜔)

macht.

5.2 Optimalfilter

Optimalfilter sind (LTI-) Systeme, die eine (angepaßte) Übertragungsfunktion derart besitzen, daß ein additiv gestörtes Nutzsignal möglichst sicher zu detektieren ist. Nach dem Modell in Abbildung 3 benennen wir mit 𝑥(𝑡) das determinierte Signal (der Gesamtenergie 𝐸) und mit 𝑛(𝑡) weißes Rauschen der spektralen Leistungsdichte S _𝑥𝑥(𝜔) = S ₀, welches auf dem Übertragungskanal induziert wird.

Abbildung 3: Übertragungskanal mit Optimalfilter

Das Optimierungsproblem besteht nun darin, zum Abtastzeitpunkt 𝑡₀ das Verhältnis von Momentan-Nutzleistung 𝑦²(𝑡₀) zur Rauschleisung am Ausgang zu maximieren. Dabei ist (nach Formel 53, Abschnitt 4.2) die Störleistung genau die Autokorrelationsfunktion 𝜑_𝑦𝑦(0).

𝑦2(𝑡0) 𝜑 (0) ⇒ Max. 𝑦𝑦

Zuerst drücken wir 𝑦(𝑡₀) durch die (für LTI-Systeme³⁷ typische) Faltung von 𝑥(𝑡) mit der Impulsantwort h(𝑡) F
o--o H _𝑜𝑝𝑡(j𝜔) aus.

[ ]2 [∫︁ ∞ ]2 𝑦2(𝑡0)= (h∗𝑥)|𝑡=𝑡0 = h(𝑡)𝑥(𝑡0 − 𝑡)d 𝑡 −∞

Die Rauschleistung kann z. B. ermittelt werden, indem man ausgehend von Formel 60 ff. 𝜑_𝑦𝑦(𝜏) bestimmt. Führt man die gesamte Berechnung im Zeitbereich durch, dann ist in Verbindung mit der Autokorrelationsfunktion des weißen Rauschens 𝜑_𝑥𝑥(𝜏) = S ₀ 𝛿(𝑡) das Ausblendtheorem der DIRAC-Funktion 𝑓(𝑡) ∗𝛿(𝑡 −𝑡₀) = 𝑓(𝑡₀) hilfreich einzusetzen.

∫︁ ∗ ∞ 2 𝜑𝑦𝑦(𝜏)= (h ∗h ∗ 𝜑𝑥𝑥)(𝜏)= S0 h(𝜏) ∗h(−𝜏)|𝜏=0 = S0 −∞ h (𝑡)d𝑡

Bringen wir nun beide Zwischenergebnisse zusammen

[∫ ∞ ]2 𝑦2(𝑡0)- -−∞-h(𝑡)𝑥(𝑡0 −-𝑡)d𝑡-- 𝜑𝑦𝑦(0)= S ∫ ∞ h2(𝑡)d 𝑡 0 −∞

und erweitern den Bruch noch um 𝐸 = ∫ _−∞^∞𝑥²(𝑡)d𝑡, welches mit der Substitution 𝑡 := 𝑡₀ −𝑡 in 𝐸 = ∫ _−∞^∞𝑥²(𝑡₀ −𝑡)d𝑡 übergeht.

2 [∫ ∞ ]2 𝑦-(𝑡0) = -−-∞h(∫𝑡)𝑥(𝑡0-− 𝑡)d𝑡-· ∫-----𝐸------- 𝜑𝑦𝑦(0) S0 ∞ h2(𝑡)d𝑡 ∞ 𝑥2(𝑡0 − 𝑡)d𝑡 −∞ − ∞

Etwas umsortiert (und gesichtet) ist festzustellen, daß hier der Korrelationskoeffizient nach Formel 29 in der zeitlichen Form für Energiesignale

∫ ∞ 𝑥 (𝑡)𝑥 (𝑡)d𝑡 Corr[𝑥1(𝑡),𝑥2(𝑡)]= √︃-∫--−∞--1---2∫--------- ∞ 𝑥2(𝑡)d𝑡 ∞ 𝑥2(𝑡)d𝑡 −∞ 1 −∞ 2

(63)

zwischen h(𝑡) und 𝑥(𝑡₀ −𝑡) enthalten ist.

[∫ ∞ ]2 -𝑦2(𝑡0) -𝐸- --−∞-h(𝑢)𝑥(𝑡0-− 𝑢)d-𝑢- -------𝐸------ 𝐸-- 2 𝜑 𝑦𝑦(0)= S0 · ∫ ∞ h2(𝑡)d𝑡 ·∫ ∞ 𝑥2(𝑡 − 𝑡)d 𝑡 = S0 Corr [h(𝑡),𝑥(𝑡0 − 𝑡)] −∞ −∞ 0

Wie wir aus Abschnitt 2.3.5 wissen, ist der Korrelationskoeffizient dann am größten, wenn beide Funktionen linear abhängig sind, also h(𝑡) = 𝑘𝑥(𝑡₀ −𝑡) gilt. Durch FOURIER-Transformation dieser Beziehung gelangt man zur Übertragungsfunktion des Optimalfilters im Bildbereich.

F H 𝑜𝑝 𝑡 = 𝑘𝑋 ∗e−j𝜔 𝑡0 o--o 𝑘𝑥(𝑡0 − 𝑡)

Für das Nutzsignal ergeben sich folgerichtig die Beziehungen:³⁸

Die Leistungsbilanz zum Zeitpunkt 𝑡₀ fällt mit Corr(·) = 1 folgendermaßen aus:

𝑦2(𝑡) 𝐸 ---0--= ---. 𝜑𝑦𝑦(0) S0

5.3 Quantisierung

5.3.1 Quantisierungsrauschen

Die Wandlung eines zeitkontinuierlichen Eingangssignals 𝑓(𝑡) in ein digitalisiertes Ausgangssignal 𝑞(𝑘𝑇) ist ein Vorgang, der üblicherweise aus den Schritten: Abtasten und Quantisierung besteht [1, S. 3.7], [3, S. 1.7.4]. Die Quantisierung in diskrete Amplitudenwerte erfolgt fast immer durch Einsatz eines Analog/Digital-Wandlers (A/D-Konverter, ADC). Aufgrund der endlichen Anzahl an Quantisierungsstufen entsteht dabei ein Fehler, der sich als Quantisierungsrauschen 𝑛(𝑡) repräsentiert (vgl. Abbildung 4).

Für stationäre ergodische Prozesse ist die Betrachtung von 𝑞(𝑡) zu einem beliebigen Abstastzeitpunkt 𝑘𝑇 ausreichend.³⁹ Wenn Δ die Höhe einer Quantisierungsstufe darstellt,⁴⁰ dann wird der Signalwert 𝑓(𝑘𝑇) mit Λ ≤ 𝑓(𝑘𝑇) ≤ Λ+Δ bei idealer Quantisierung entweder auf den Wert Λ oder aber Λ+Δ – und zwar mit gleicher Wahrscheinlichkeit – quantisiert. Dadurch ist der Fehler 𝑛 im Intervall −Δ/2 ≤ 𝑛 ≤ Δ/2 gleichverteilt mit der Wahrscheinlichkeitsdichte 𝑝(𝑛) = Δ⁻¹ (vgl. Formel 14). Der Effektivwert des Quantisierungsrauschens kann nun ausgehend von Gleichung 12, mit Hilfe der für die Gleichverteilung gültigen Formeln 15 und 16, gewonnen werden. Beim Einsetzen der konkreten Werte für die Intervallgrenzen (𝑎 = −Δ/2, 𝑏 = +Δ/2) fällt sofort auf, daß der Mittelwert verschwindet und sich die Effektivwertformel 12 weiter vereinfacht.

In der Theorie ist der auf den Eingang des A/D-Wandlers bezogene Effektivwert des Quantisierungsrauschens aus den zugehörigen technischen Daten ermittelbar. Dazu bestimmt man aus der Anzahl von Bit 𝐵 (die typischerweise den A/D-Wandler⁴¹ charakterisieren) und der maximal erlaubten Größe des Eingangssignals (üblicherweise die Referenzspannung 𝑈₀) die Anzahl der Quantisierungsstufen zu 𝑁 = 2^𝐵. Bei linearer Quantisierung ergibt sich als Effektivwert für das dadurch hervorgerufene Rauschen

-Δ-- -𝑈0--- − 𝐵-𝑈0- 𝑛˜= √12-= 𝑁√12- = 2 √12-.

(65)

5.3.2 Signal-Rausch-Abstand (Signal-Noise-Ratio, SNR)

Die SNR ist als logarithmisches Verhältnis von Signalleistung zur Rauschleistung definiert.

𝑃 𝑠 SNR = 10log𝑃-- 𝑛

Wird die Leistung jeweils am gleichen Widerstand umgesetzt kann die SNR mittels der Effektivwerte des Bezugssignals und des Quantisierungsrauschens ñ ausgedrückt werden.

( )2 ˜𝑠- ˜𝑠- SNR = 10 log ˜𝑛 = 20log˜𝑛

Bei einem sinusförmigen Nutzsignal maximaler Aussteuerung ist als größter Spitzenwert 𝑈₀ = √ --
2 anzusetzen.⁴² Durch Anwendung der Gleichung 65 für die effektive Rauschamplitude kann der maximal erreichbare Signal-Rausch-Abstand bestimmt werden.

Wesentlich ist die Erkenntnis, daß bei einer Erhöhung der Auflösung des A/D-Wandlers um ein Bit der Signal-Rausch-Abstand linear um 6,02dB zunimmt.⁴³

5.4 Pulsbreitendiskriminierung

Oft besteht die Forderung zwischen zwei Impulsen verschiedener Breite 𝑇₁ und 𝑇₂ zu unterscheiden. Die einfachste Möglichkeit besteht darin, auf den Impulsanfang zu triggern und zu einem günstig gewählten Zeitpunkt 𝑇 das Signal erneut abzutasten (vgl. Abbildung 5). Wird kein gültiger Pegel mehr erkannt, gilt der Impuls als beendet, was mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit darauf hindeutet, daß der Impuls mit der Breite 𝑇₁ empfangen wurde. Die Wahrscheinlichkeit, daß es sich um den Impuls der Breite 𝑇₂ handelt, ist dann das komplementäre Ereignis.

Geht man davon aus, daß die Impulsbreiten normalverteilt sind,⁴⁴ wobei 𝜎_𝑖 die Streuung und 𝜇_𝑖 der Erwartungswert des jeweiligen Impulses sind, dann gilt für die Wahrscheinlichkeitsdichten

[ ( )2] 𝑝𝑖(𝑡)= √--1---exp −1- 𝑥-−-𝜇𝑖 , 𝑖 = 1,2 . 2 𝜋𝜎𝑖 2 𝜎𝑖

Die zugehörige Verteilungsfunktion (vgl. Definitionsgleichung 6), also die Wahrscheinlichkeit, daß der jeweilige Impuls (also 𝑇_𝑖) kürzer als der Wert 𝑡 ist, ist dann

∫︁ [ ( )] 𝑡 --1---- 1- 𝑢-−-𝜇𝑖 2 Pr(𝑇𝑖 < 𝑡)= 𝐹𝑖(𝑡)= √--- exp −2 𝜎𝑖 d𝑢 . −∞ 2𝜋 𝜎𝑖

Substituiert man 𝑧 = (𝑢 − 𝜇_𝑖)/𝜎_𝑖 mit d𝑢 = 𝜎_𝑖 d𝑧, dann kann mit der (auch tabelliert vorliegenden) Standard-Normalverteilung Φ(𝑧) gearbeitet werden.⁴⁵

( ) ( )
∫︁ (𝑡−𝜇𝑖)/𝜎𝑖 1 𝑧2 𝑡 − 𝜇𝑖
𝐹𝑖(𝑡) = √---exp − 2- d𝑧 = Φ -𝜎---
∫︁ −∞𝑥 2(𝜋 2) 𝑖
Φ(𝑥) = √1--exp − 𝑢- d𝑢 (67)
−∞ 2𝜋 2

Die Wahrscheinlichkeit, daß der Impuls mit der Länge 𝑇₁ kürzer als 𝑇 ist, entspricht genau der Wahrscheinlichkeit diesen Impuls erkannt zu haben.

( ) Pr(𝑇1 < 𝑇)= Φ 𝑇 −-𝜇1 𝜎1

Entsprechend gilt für die Wahrscheinlichkeit den Impuls mit der Breite 𝑇₂ erkannt zu haben.

(𝑇 − 𝜇2) (𝜇2 − 𝑇 ) Pr(𝑇2 > 𝑇 )= 1 − Pr(𝑇2 < 𝑇 )= 1 − Φ-𝜎-- = Φ --𝜎--- 2 2

Gesucht wird nun der optimale Abtastzeitpunkt 𝑇 , bei dem beide Wahrscheinlichkeiten gleich werden.

Bei gleicher Streuung 𝜎 = 𝜎₁ = 𝜎₂ für die Pulsbreiten 𝑇_𝑖 ist der optimale Abtastzeitpunkt 𝑇 das arithmetische Mittel.

𝜇1-+-𝜇2 𝑇 = 2

Die Wahrscheinlichkeit, einen der Impulse dabei falsch zu erkennen, liegt bei:⁴⁶

( ) 𝑇 − 𝜇1 (𝜇2 − 𝜇1) Pr(𝑇1 > 𝑇)= 1 − Pr(𝑇1 < 𝑇)= 1 − Φ --𝜎--- = 1 − Φ --2𝜎--- .

Geht man dagegen vom gleichen relativen Fehler 𝜀 für beide Pulsbreiten aus, so ergibt sich mit

𝜇1-= 𝜇2-= 1- 𝜎1 𝜎2 𝜀

der optimale Wert zu

Der günstigste Abtastzeitpunkt liegt also beim Quotienten aus quadratisch geometrischem und einfachem arithmetischen Mittelwert der beiden Pulsbreiten. Bei dieser Wahl ist die Wahrscheinlichkeit einen der Impulse falsch zu erkennen

( ) 1- 𝜇2-− 𝜇1 Pr(𝑇1 > 𝑇)= 1− Pr(𝑇1 < 𝑇)= 1− Φ 𝜀 ·𝜇2 + 𝜇1 .