3 Funktionen von Zufallsgrößen

3.1 Funktion einer eindimensionalen Zufallsgröße
3.2 Funktionen mehrdimensionaler Zufallsgrößen
3.3 Summe von Zufallsgrößen
3.4 Produkt von Zufallsgrößen

3.1 Funktion einer eindimensionalen Zufallsgröße

Die Transformation der Verteilung einer kontinuierlichen Zufallsgröße 𝑋 in eine andere Verteilung, die der Zufallsgröße 𝑌 zugeordnet sein soll, wird in der Praxis häufig verlangt. Anwendungen in der Nachrichtentechnik und Signalverarbeitung sind unter anderem:

Als Modell soll die Transformation der Eingangsgröße 𝑋 in die Ausgangsgröße 𝑌 durch ein System mit der Übertragungsfunktion 𝑦 = 𝑓(𝑥) angenommen werden (vgl. Abbildung 1).

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Abbildung 1: Systemmodell

Die Wahrscheinlichkeitsdichte für 𝑋 soll 𝑝𝑋(𝑥), die für 𝑌 entsprechend 𝑝𝑌 (𝑦) sein. Außerdem wird vorausgesetzt, daß 𝑓(𝑥) im Intervall, den 𝑋 annehmen kann, monoton verläuft.13 Angenommen nun, 𝑌 nimmt den Wert 𝑦 an, so ist diesem eindeutig ein Wert 𝑥 zugeordnet, der von der Zufallsgröße 𝑋 angenommen wird. Die Dichtefunktion 𝑝𝑋(𝑥) gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit 𝑋 einen Wert im Intervall [𝑥 − d𝑥/2,𝑥 + d𝑥/2] annimmt. Unter dieser Bedingung nimmt 𝑌 (nach Abbildung 2) aber einen Wert im Intervall [𝑦− d𝑦/2,𝑦+ d𝑦/2] mit der gleichen Wahrscheinlichkeit an.

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Durch die Streckung (Stauchung) des Intervalls d𝑥 über 𝑓(𝑥) auf d𝑦 muß auch die Wahrscheinlichkeitsdichte im entsprechenden Streckungsverhältnis |d𝑥/d𝑦| gegenüber 𝑝𝑋(𝑥) ab- bzw. zunehmen.

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Abbildung 2: Transformationsfunktion
𝑝𝑋-(𝑥) ′ ′ 𝑝𝑌(𝑦)= |𝑓 ′(𝑥)|= 𝑝 𝑋(𝑥)|ℎ (𝑦)|= 𝑝𝑋 [ℎ(𝑦)]|ℎ (𝑦)|
(31)

ℎ(𝑦) ist hierbei die Umkehrfunktion von 𝑓(𝑥) und ℎ′(𝑦) deren Ableitung nach 𝑦.

Mit |𝑓′(𝑥)| = |d 𝑦/d𝑥|, also

𝑝 (𝑦)d| 𝑦|= 𝑝 (𝑥)d|𝑥| 𝑌 𝑋

ist der Zusammenhang zwischen den Verteilungsfunktionen 𝐹𝑋(𝑥) und 𝐹𝑌 (𝑦) nun relativ einfach durch Integration beider Seiten bzw. Anwendung von Definitionsgleichung 6 abzuleiten.

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Da an der unteren Grenze immer 𝐹𝑋(𝑎) = 0 gilt,14 ergibt sich:

𝐹𝑌(𝑦)= 𝐹𝑋 [ℎ(𝑦)]
(32)

Die wesentliche Erkenntnis daraus ist, daß die Verteilungsfunktion direkt über die Kennlinie 𝑓(𝑥), die Wahrscheinlichkeitsdichte jedoch über ′ |𝑓 (𝑥)| transformiert wird [2, A.2.1.7.5], [10, S. 5], [13, S. 2.7.1].

Trigonometrische Übertragungsfunktion (bei Gleichverteilung)

Die Eingangsgröße 𝑋 soll in [−𝜋/2, +𝜋/2] gleichverteilt mit 𝑝𝑋(𝑥) = 1/𝜋 sein. Die Transformationsfunktion ist 𝑦 = 𝑓(𝑥) = sin 𝑥. Die Wahrscheinlichkeitsdichte für −1 ≤ 𝑌 ≤ 1 ergibt sich zu

𝑝 (𝑥) 1 1 1 1 1 1 𝑝𝑌(𝑦)= -𝑋′----= --· ----= --·√︁---------= --·√︁-------. |𝑓 (𝑥)| 𝜋 cos 𝑥 𝜋 1 − sin2𝑥 𝜋 1− 𝑦2

Lineare Übertragungsfunktion

Die Eingangsgröße 𝑋 soll die nicht genauer definierte Dichtefunktion 𝑝𝑥(𝑥) besitzen. Die Transformationsfunktion ist eine lineare Abbildung der Form 𝑦 = 𝐴𝑥. Dann gilt für die Dichtefunktion:

𝑝 (𝑥) 𝑝 (𝑦/𝐴) 𝑝𝑌(𝑦)= -𝑋′---= -𝑋------ . 𝑓 (𝑥) |𝐴 |
(33)

3.2 Funktionen mehrdimensionaler Zufallsgrößen

Ausgehend von der eindimensionalen Transformation einer Zufallsgröße (im vorherigen Abschnitt) läßt sich das Problem von Funktionen mehrdimensionaler Zufallsgrößen wiefolgt formulieren:

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeitsdichte 𝑝𝑌 (𝑦1,𝑦2,…,𝑦𝑛) des Zufallsvektors Y, die sich aus der Transformation des Zufallsvektors X mit der Wahrscheinlichkeitsdichte 𝑝𝑋(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛) durch reelle Funktionen 𝑓1,𝑓2,…,𝑓𝑛 dergestalt

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ergibt.

Setzen wir (der Kürze halber) sowohl bei Variablen als auch Funktionen Vektorschreibweisen der Art

(−1) Y = f(X) X = f (Y)= h(Y)
(34)

ein, dann wird schon auf Symbolebene die Ähnlichkeit zum eindimensionalen Fall erkennbar. Aus diesem Grund wird hier der Ansatz der formalen Erweiterung von Gleichung 30 auf 𝑛 Dimensionen verfolgt, wobei wir (zuerst) jegliche Betragszeichen ignorieren.15

𝑝 𝑋(x)d𝑥1d𝑥2···d𝑥𝑛 = 𝑝𝑌(y)d𝑦1 d𝑦2···d𝑦𝑛
(35)

Dabei kann man sich weiterhin von der anschaulichen Darstellung in Abbildung 2 leiten lassen, muß die Transformation von eindimensionalen, differentiellen Größen (d𝑥𝑓(𝑥) → d𝑦) nun aber auf Gebiete der Dimension 𝑛 ausdehnen (dxf(x) → dy).

Den Zusammenhang zwischen den Inhaltsmomenten16 d𝑥1 d𝑥2···d𝑥𝑛 und d𝑦1 d𝑦2···d𝑦𝑛 gibt uns die aus der Integralrechnung bekannte Funktional- bzw. JACOBI-Determinante |J|.17

d𝑥1d𝑥2···d𝑥𝑛 = |Jℎ| d𝑦1d𝑦2···d𝑦𝑛
(36)

Die ihr zugrunde liegende JACOBI-Matrix hat eine 𝑛×𝑛 Struktur, in der jedes Element die partielle Ableitung der Funktion ℎ𝑘(𝑦1,𝑦2,…,𝑦𝑛) nach einer Variablen 𝑦𝑖 enthält. Für den Funktionsvektor h hat sie das folgende Aussehen:

|| || ||𝜕-ℎ1(y) 𝜕ℎ1(y) ··· 𝜕ℎ1(y) || || 𝜕𝑦1 𝜕𝑦2 𝜕𝑦𝑛 || |𝜕-ℎ2(y) 𝜕ℎ2(y) ··· 𝜕ℎ2(y) | |Jℎ|= || 𝜕𝑦1 𝜕𝑦2 𝜕𝑦𝑛 ||, || .. .. .. .. || || . . . . || ||𝜕-ℎ𝑛(y) 𝜕ℎ𝑛(y)- 𝜕ℎ𝑛(y)-|| | 𝜕𝑦1 𝜕𝑦2 ··· 𝜕𝑦𝑛 |

wobei wir die Betragszeichen sowohl als Kennzeichnung für eine Determinante als auch den echten Betrag des Ergebnisses werten wollen. Vergleicht man nun Formel 35 und 36, dann wird der Zusammenhang zwischen den Wahrscheinlichkeitsdichten von X und Y sofort offensichtlich [10, S. 6], [11, S. 2.5], [4, § 23].

𝑝𝑌 (y)= |Jℎ| 𝑝𝑋(x)
(37)

Die ebenfalls interessante Verteilungsfunktion von Y kann man z. B. aus Definitionsgleichung 17 durch Einsetzen von Formel 35 gewinnen.18

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Die Integrationsgrenzen ergeben sich dabei aus der Bedingung 𝑓𝑘(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛) < 𝑦𝑘 für das Integrationsgebiet 𝐵 (vgl. Definition der Verteilungsfunktion: Pr(𝑌𝑘 < 𝑦𝑘)).

Auf der Grundlage von Formel 35 lassen sich nun auch die Erwartungswerte E(𝑌𝑖) berechnen.

∫︁ ∞ ∫︁ ∞ ∫︁ ∞ E(𝑌𝑖) = ··· 𝑦𝑖𝑝 𝑌(𝑦1,𝑦2,...,𝑦𝑛)d𝑦 𝑛···d𝑦2d𝑦1 ∫︁ −∞ ∫︁−∞ ∫︁−∞ ∞ ∞ ∞ = −∞ −∞ ··· −∞ 𝑓𝑖(𝑥1,𝑥2,...,𝑥𝑛) 𝑝𝑋(𝑥1,𝑥2,...,𝑥𝑛)d𝑥𝑛 ···d𝑥2 d𝑥1

Für den zweidimensionalen Spezialfall 𝑌 = 𝑓(𝑋1,𝑋2) bestimmt sich der Erwartungswert wiefolgt:

∫︁ ∞∫︁ ∞ E( 𝑌)= 𝑓(𝑥1,𝑥2)𝑝 𝑋(𝑥1,𝑥2)d 𝑥2d𝑥1 −∞ −∞
(39)

3.3 Summe von Zufallsgrößen

3.3.1 Wahrscheinlichkeitsdichte

Um die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Summe von zwei Zufallsgrößen 𝑌 = 𝑋1 +𝑋2 zu bestimmen, interpretieren wir sie einfach als Funktion 𝑓(𝑋1,𝑋2) im Sinne des vorigen Abschnitt. Da wir nur eine Ergebnisgröße, nämlich 𝑌 haben, müssen wir die (nach Gleichung 34) notwendige Ordnung 𝑛 = 2 für Y = f(X) “künstlich” erzeugen. Dazu benennen wird 𝑌 in 𝑌1 = 𝑓1(𝑋1,𝑋2) = 𝑋1 +𝑋2 um und definieren eine zweite Funktion 𝑌2 = 𝑓2(𝑋1,𝑋2) = 𝑋1 −𝑋2. Bei der Auswahl von 𝑓2 soll nur Bedingung sein, daß diese Funktion differenzierbar, umkehrbar und nicht linear abhängig von 𝑓1 ist.19

Zuerst werden die Umkehrfunktionen h(Y) ermittelt

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und mit deren Hilfe die Funktionaldeterminante gewonnen.

| | | | ||𝜕-ℎ1(y) 𝜕ℎ1(y) || || || || 𝜕𝑦1 𝜕𝑦2 || |1/2 1/2 | 1- |Jℎ|= ||𝜕-ℎ2(y) 𝜕ℎ2(y) ||= || || = − 2 | 𝜕𝑦1 𝜕𝑦2 | |1/2 −1/2 |

Da in diesem Fall nur lineare Funktionen beteiligt sind, ist die Determinante |Jℎ| eine Konstante. Wir reduzieren sie (konform zu Abschnitt 3.2) auf ihren Absolutwert um dann Gleichung 37 anzuwenden.

( ) 𝑝 𝑌(𝑦1,𝑦2)= |Jℎ| 𝑝𝑋(𝑥1,𝑥2)= − 1𝑝𝑋(𝑥1,𝑥2)= − 1𝑝𝑋 𝑦1 +-𝑦2,𝑦1-−-𝑦2 2 2 2 2

Da die Hilfsgröße 𝑌2 nicht von Interesse ist, müssen wir sie als Zufallsgröße “ausblenden”, d. h. aus der verbundenen Dichtefunktion 𝑝𝑌 (𝑦1,𝑦2) die (eindimensionale) Randdichte von 𝑌1 (nach Formel 20) berechnen. Bei diesem Schritt können wir auch gleich wieder 𝑌1 in 𝑌 umbenennen, denn auf diese Größe kam es uns ja an.

∫︁ ∞ 1 ∫︁ ∞ (𝑦+ 𝑦2 𝑦 − 𝑦2) 𝑝𝑌(𝑦)= 𝑝 𝑌(𝑦,𝑦2)d𝑦2 = − 2 𝑝𝑋 --2--,---2-- d𝑦2 − ∞ −∞

Die abschließende Substitution 𝑧 = (𝑦+𝑦2)/2, d. h. 𝑦2 = 2𝑧−𝑦 und d𝑦2 = 2d𝑧 führt zum Ergebnis.

∫︁ ∞ 𝑝𝑌(𝑦)= 𝑝𝑋 (𝑧,𝑦 − 𝑧)d𝑧 −∞
(40)

Sind 𝑋1 und 𝑋2 sogar stochastisch unabhängig, d. h. es gilt 𝑝𝑋(𝑥1,𝑥2) = 𝑝1(𝑥1)𝑝2(𝑥2), so vereinfacht sich Gleichung 40 zu:

∫︁ ∞ 𝑝𝑌(𝑦)= 𝑝1(𝑧)𝑝2(𝑦− 𝑧)d𝑧 −∞
(41)

Nach dieser Formel ist die Wahrscheinlichkeitsdichte der Summe zweier unabhängiger Zufallsgrößen also genau die Faltung der einzelnen Dichtefunktionen.20

𝑝 𝑌(𝑦)= (𝑝1 ∗ 𝑝2)(𝑦)
(42)

Für die Summe von 𝑛 unabhängigen Zufallsgrößen gilt demzufolge:

𝑝 𝑌(𝑦)= (𝑝1 ∗𝑝2 ∗𝑝3 ∗···∗𝑝 𝑛−1 ∗𝑝 𝑛)(𝑦).
3.3.2 Erwartungswert

Ausgangspunkt zur Bestimmung des Erwartungswertes der Zufallsgröße 𝑌 = 𝑋1 +𝑋2 ist dessen Definitionsgleichung 9.

∫︁ ∞ E( 𝑌)= E(𝑋1 + 𝑋2)= 𝑦𝑝𝑌(𝑦)d 𝑦 −∞

Einsetzen der Wahrscheinlichkeitsdichte von 𝑌 entsprechend Formel 40 ergibt:

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Die inneren Integrale in beiden Summanden stellen nach Gleichung 20 aber genau die Randdichten 𝑝1(𝑥1) und 𝑝2(𝑥2) der jeweils anderen Zufallsgröße dar.

∫︁ ∞ ∫︁ ∞ E( 𝑋1 + 𝑋2)= 𝑥1𝑝1(𝑥1)d𝑥1 + 𝑥2𝑝2(𝑥2)d𝑥2 −∞ −∞

Demzufolge ist der Erwartungswert der Summe zweier Zufallsgrößen unabhängig von der (verbundenen) Wahrscheinlichkeitsdichte einfach die Summe der einzelnen Erwartungswerte [4, § 27].21

E(𝑋1 + 𝑋2)= E( 𝑋1)+ E(𝑋1)
(43)

3.3.3 Varianz

Die Varianz der Summe zweier (möglicherweise abhängiger) Zufallsgrößen kann nun ausgehend von Gleichung 11 bestimmt werden.

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Mit einem kleinen Rückgriff auf Abschnitt 2.3.3 kann man die letzte Formel auch folgendermaßen schreiben:

Var(𝑋1 + 𝑋2)= Var(𝑋1)+ Var(𝑋2)+ 2Cov(𝑋1, 𝑋2)
(45)

Sind die Zufallsgrößen 𝑋1 und 𝑋2 unabhängig, dann gilt Cov(𝑋1,𝑋2) = 0 (vgl. Abschnitt 2.3.3) und deshalb für die Varianz:

Var(𝑋1 + 𝑋2)= Var(𝑋1)+ Var(𝑋2).
3.3.4 Effektivwert

Ausgehend von der Definition des Effektivwertes nach Gleichung 12 kann man hier Zwischenformel 44 des letzten Abschnitts nutzbringend einsetzen.

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Sind beide Zufallsgrößen sowohl unabhängig als auch (zumindest eine) mittelwertfrei,22 dann berechnet sich der Effektivwert der Summengröße wiefolgt:

E(𝑋 )=0√︃ -------- ˜𝑌 𝑖= ˜𝑋21 +𝑋˜22, 𝑖 = 1,2 .

Induktive Fortsetzung ergibt für den Effektivwert der Summe 𝑛 unabhängiger, mittelwertfreier Zufallsgrößen in diesem Spezialfall:

√√ ------ √︃ ---------------------------- ∑︁𝑛 ˜𝑌 = 𝑋˜21 + ˜𝑋22 +𝑋˜23 + ···+ ˜𝑋2𝑛−1 + 𝑋˜2𝑛 = 𝑋˜2𝑖 . 𝑖=1
Superposition bei Normalverteilung

Zwei unabhängige Zufallsgrößen 𝑋1 und 𝑋2 seien normalverteilt

[ ( )2] 𝑝 (𝑥)= √-1---exp −1- 𝑥-− 𝜇-𝑖 , 𝑖 = 1,2 𝑖 2𝜋 𝜎𝑖 2 𝜎𝑖
(46)

und additiv überlagert.23 Die Berechnung der resultierenden Dichtefunktion 𝑝𝑌 (𝑦) kann dann durch Anwendung der Faltungsformel 41 erfolgen. Relativ einfach läßt sich eine Faltung mit Hilfe der FOURIER-Transformation berechnen. Dazu werden die Dichtefunktionen 𝑝𝑖(𝑥) in den Bildbereich transformiert

−𝜇𝑖 −2(𝜋𝜎𝑖𝑓)2 F {𝑝𝑖(𝑥)} = e e

und dann einfach multipliziert (Faltungssatz).

(√︃ ------)2 −(𝜇1+𝜇2) −2𝜋 𝜎21+𝜎22 𝑓 F {𝑝𝑌(𝑦)} = e e

Die Rücktransformation von F {𝑝𝑌 (𝑦)} liefert sofort die Lösung.

1 [ 1 (𝑥 − 𝜇 )2] √︃ -------- 𝑝𝑌 (𝑦)= √-----exp − -- ----- , mit 𝜎 = 𝜎21 + 𝜎 22, 𝜇 = 𝜇1 + 𝜇2 2𝜋𝜎 2 𝜎

Die Summe zweier normalverteilter Zufallsgrößen mit den Erwartungswerten 𝜇𝑖 und den Varianzen 𝜎𝑖2 ist wieder normalverteilt mit dem Erwartungswert 𝜇1 + 𝜇2 und der Varianz 𝜎12 +𝜎22.24

3.4 Produkt von Zufallsgrößen

3.4.1 Wahrscheinlichkeitsdichte

Um die Wahrscheinlichkeitsdichte eines Produkts von zwei Zufallsgrößen 𝑌 = 𝑋1𝑋2 zu bestimmen, interpretieren wir dieses Produkt wieder als Funktion 𝑓(𝑋1,𝑋2). Da wir auch hier nur eine Ergebnisgröße, nämlich 𝑌 , haben, müssen wir die Darstellung Y = f(X) wieder “künstlich” erzeugen. Dazu benennen wird 𝑌 in 𝑌1 = 𝑓1(𝑋1,𝑋2) = 𝑋1𝑋2 um und definieren eine zweite Funktion 𝑌2 = 𝑓2(𝑋1,𝑋2) = 𝑋1/𝑋2.

Auch diesmal ermitteln wir zuerst die Umkehrfunktionen h(Y), beschränken uns aber auf die positiven Werte von 𝑋1 und 𝑋2 sowie positive Radikanden.

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Den Absolutwert der zugehörigen Funktionaldeterminante

| | || √︂ 𝑦-- √︂ 𝑦-- || || 𝜕ℎ1(y) 𝜕ℎ1(y) || || --2 -1 || J = || 𝜕𝑦1 𝜕𝑦2 ||= 1|| 𝑦1 √︄𝑦2- ||= −-1- ℎ || 𝜕ℎ2(y) 𝜕ℎ2(y) || 4| √-1--- − 𝑦1 | 2𝑦2 | 𝜕𝑦1 𝜕𝑦2 | || 𝑦1𝑦2 𝑦32 ||

wenden wir wieder auf Gleichung 37 an.

( √︂ --) 𝑝𝑋(𝑥1,𝑥2) -1- √ ---- 𝑦1 𝑝𝑌(𝑦1,𝑦2)= |Jℎ|𝑝𝑋 (𝑥1,𝑥2)= 2𝑦 = 2𝑦 𝑝𝑋 𝑦1𝑦2, 𝑦 2 2 2

Da die Zufallsgröße 𝑌2 auch hier nicht von Interesse ist, müssen wir sie wieder “ausblenden”, d. h. aus der verbundenen Dichtefunktion 𝑝𝑌 (𝑦1,𝑦2) die (eindimensionale) Randdichte von 𝑌1 berechnen. Dabei benennen wir auch gleich wieder 𝑌1 in 𝑌 um.

∫︁ ∞ ∫︁ ∞ ( √︂ ---) 𝑝 𝑌(𝑦)= 𝑝 𝑌(𝑦,𝑦2)d𝑦2 = -1-𝑝𝑋 √𝑦-𝑦2, 𝑦- d𝑦2 −∞ −∞ 2𝑦2 𝑦2

Die abschließende Substitution 𝑧 = √ ---- 𝑦𝑦2, d. h. √ ---- 𝑦/𝑦2 = 𝑦/𝑧 und 2 d𝑧 = d𝑦2√---- 𝑦/ 𝑦2 = 𝑦/𝑧 d𝑦2 ergibt:

∫︁ ∞ 𝑧 1 ( 𝑦) 𝑝𝑌 (𝑦) = --·--𝑝𝑋 𝑧,-- d𝑧 ∫︁−∞ 𝑦 𝑦2 𝑧 ∞ −1 = −∞ 𝑧 𝑝𝑋 (𝑧,𝑦/𝑧)d 𝑧 .

Für die Wahrscheinlichkeitsdichte des Produktes zweier (abhängiger) Zufallsgrößen gilt also:

∫︁ ∞ 𝑝-𝑋(𝑧,𝑦/𝑧) 𝑝𝑌 (𝑦)= −∞ 𝑧 d𝑧 .
(47)

Sind 𝑋1 und 𝑋2 stochastisch unabhängig, d. h. es gilt 𝑝𝑋(𝑥1,𝑥2) = 𝑝1(𝑥1)𝑝2(𝑥2), so vereinfacht sich Formel 47 zu:

∫︁ ∞ 𝑝 (𝑧)𝑝 (𝑦/𝑧) 𝑝𝑌(𝑦)= -1----2-----d𝑧 . −∞ 𝑧
(48)

3.4.2 Erwartungswert

Den Erwartungswert von 𝑌 kann man nach der Formel 39 bestimmen. Dazu setzt man als Funktion 𝑓(𝑋1,𝑋2) = 𝑋1𝑋2 und erhält für den allgemeinen Fall abhängiger Zufallsgrößen:

∫︁ ∞ ∫︁ ∞ E( 𝑋1𝑋2)= 𝑥1𝑥2𝑝 𝑋(𝑥1,𝑥2)d 𝑥2d𝑥1 . − ∞ −∞
(49)

Sind 𝑋1 und 𝑋2 stochastisch unabhängig, d. h. es gibt die Zerlegung 𝑝𝑋(𝑥1,𝑥2) = 𝑝1(𝑥1)𝑝2(𝑥2), dann kann man weiter vereinfachen

∫︁ ∞∫︁ ∞ E(𝑋1𝑋2) = 𝑥1𝑥2𝑝1(𝑥1)𝑝2(𝑥2)d𝑥2d𝑥1 ∫︁−∞ −∞ ∫︁ ∞ ∞ = −∞ 𝑥1𝑝1(𝑥1)d𝑥1 · −∞ 𝑥2𝑝2(𝑥2)d𝑥2

und erhält als Ergebnis:

E(𝑋1𝑋2)= E(𝑋1)E(𝑋2).
(50)

Verschwindet der Erwartungswert des Produkts sogar überall (E(𝑋1𝑋2) = 0), dann werden die beiden Zufallsgrößen als orthogonal zueinander bezeichnet.

3.4.3 Varianz

In einer ganz allgemeinen Darstellung führt das Einsetzen von Gleichung 47 in die Formel 10 der Varianz zu:

∫︁ ∞ Var(𝑌)= 𝑦2𝑝( 𝑦)d𝑦− E2(𝑌). −∞

Eine weitere Vereinfachung scheint hier ohne genaue Kenntnis von 𝑝(𝑦) nicht möglich — allerdings kann man für stochastisch unabhängige Zufallsgrößen mit Hilfe von Formel 48 (und der Substitution 𝑤 = 𝑦/𝑢) noch einen Schritt weiter gehen:

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Nimmt man die Definition der Varianz nach Formel 11 hinzu, dann ist die folgende Darstellung gleichwertig:

Var(𝑋 𝑋 )= E(𝑋2)E( 𝑋2)− E2(𝑋 )E2(𝑋 ). 1 2 1 2 1 2
(51)

Für mittelwertfreie Zufallsgrößen (E(𝑋) = 0) geht es dann sogar noch etwas einfacher:

Var(𝑋1𝑋2)= Var(𝑋1)Var(𝑋2)= E(𝑋2)E(𝑋2 ). 1 2
3.4.4 Effektivwert

Ausgehend von Gleichung 12 kann der Effektivwert (bei stochastisch unabhängigen Zufallsgrößen) durch Einsetzen der Formeln 50 und 51 leicht ermittelt werden.

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Das Ergebnis ist entsprechend wenig überraschend:

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