1 Eindimensionale Zufallsgrößen

1.1 Diskrete Zufallsgrößen
1.2 Kontinuierliche Zufallsgrößen

1.1 Diskrete Zufallsgrößen

Bei den diskreten Zufallsgrößen geht man davon aus, daß es eine Zufallsgröße 𝑋 gibt, die 𝑁 verschiedene diskrete Werte 𝑥𝑖 annehmen kann. Die Wahrscheinlichkeit, daß der Wert 𝑥𝑖 angenommen wird, soll 𝑝𝑖 = Pr(𝑋 = 𝑥𝑖) betragen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß 𝑋 irgendeinen der Werte 𝑥𝑖 annimmt ist folgerichtig das sichere Ereignis.

∑︁𝑁 𝑝 𝑖 = 1 𝑖=1

Der Erwartungswert E(𝑋) ergibt sich aus der Wichtung aller Werte 𝑥𝑖 mit der Wahrscheinlichkeit ihres Auftretens.1

𝑁 ∑︁ E(𝑋)= 𝑝𝑖 𝑥𝑖 𝑖=1
(1)

Die Varianz Var(𝑋) ist der Erwartungswert der quadratischen Abweichung vom Erwartungswert. Sie ist dadurch ein gutes Maß für die Streuung der Zufallsgröße 𝑋 um ihren Erwartungswert.2

Var(𝑋)= E[𝑋 − E(𝑋)]2
(2)

Speziell für den Fall diskreter Zufallsgrößen hat sie die folgende Berechnungsvorschrift:

𝑁∑︁ 2 Var(𝑋)= 𝑝𝑖 [𝑥𝑖 − E(𝑋)] 𝑖=1
(3)

Für mittelwertfreie Zufallsgrößen, d. h. Zufallsgrößen für die E(𝑋) = 0 gilt, ergibt sich

𝑁∑︁ Var(𝑋)= 𝑝𝑖 𝑥2𝑖 . 𝑖=1

Kann 𝑋 nicht mehr nur diskrete, sondern unendlich viele verschiedene Werte 𝑥 annehmen, dann kommt man zu kontinuierlichen Zufallsgrößen.3

1.2 Kontinuierliche Zufallsgrößen

Die Zufallsgröße 𝑋 kann in diesem Fall unendlich viele Werte 𝑥 aus einem endlichen oder unendlichen Intervall annehmen.4 Bezieht man sich auf Grenzwerte bzw. infinitesimal große Intervalle, so kann man ausgehend von den diskreten Zufallsgrößen den Quantifizierungsbegriff der Wahrscheinlichkeit erweitern.

( ) 𝑝(𝑥)= Pr 𝑥 − d𝑥-≤ 𝑋 ≤ 𝑥 + d𝑥 2 2

Die (jetzt) kontinuierliche Größe 𝑝 gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der die Zufallsgröße 𝑋 einen Wert 𝑥 in der Umgebung d𝑥 annimmt. Dadurch erhält 𝑝 differentiellen Charakter, weshalb 𝑝(𝑥) auch als Dichtefunktion bezeichnet wird. Die Wahrscheinlichkeit Pr, daß 𝑋 einen Wert innerhalb eines Intervalls [𝑎,𝑏] annimmt, muß nun durch Integration bestimmt werden.

∫︁ 𝑏 Pr(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏)= 𝑝(𝑥)d𝑥 𝑎
(4)

Wie bei den diskreten Zufallsgrößen muß die Wahrscheinlichkeit, daß 𝑋 einen Wert im Intervall (− ∞,∞) annimmt, Eins sein.

∫︁ ∞ 𝑝(𝑥)d𝑥 = 1 −∞
(5)

Wegen der Notwendigkeit in Gleichung 4 zu integrieren, wird oft die sogenannte Verteilungsfunktion einer kontinuierlichen Zufallsgröße 𝑋 angegeben.

∫︁ 𝑥 Pr(−∞ ≤ 𝑋 ≤ 𝑥)= Pr(𝑋 ≤ 𝑥)= 𝐹(𝑥)= 𝑝(𝑢)d𝑢 −∞
(6)

Man kann sich die Verteilungsfunktion nach dieser Formel auch als infinitesimale Addition aller Einzelwahrscheinlichkeiten 𝑝(𝑥) von −∞ bis 𝑥 vorstellen, also in “Summe” Pr(𝑋 ≤ 𝑥). 𝐹(𝑥) ist deshalb auch immer eine monoton steigende Funktion mit den Grenzwerten lim 𝑥→−∞𝐹(𝑥) = 0 und lim 𝑥→∞𝐹(𝑥) = 1.

Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt für die Wahrscheinlichkeitsdichte im Umkehrschluß:

d𝐹-(𝑥) 𝑝(𝑥)= d𝑥
(7)

Die Existenz des uneigentlichen Integrals in Definitionsgleichung 6 vorausgesetzt, kann die Wahrscheinlichkeit 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) jetzt sehr einfach berechnet werden.

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Der Erwartungswert ergibt sich wie bei den diskreten Zufallsgrößen – jetzt wird aber jeder Wert mit der differentiellen Wahrscheinlichkeit seines Auftretens multipliziert.5

∫︁ ∞ E(𝑋)= 𝑥 𝑝(𝑥)d𝑥 −∞
(9)

In ähnlicher Art und Weise (und unter Berücksichtigung von Formel 5) ergibt sich für die Varianz:6

∫︁ ∞ Var(𝑋)= [𝑥 − E(𝑋)]2𝑝(𝑥)d 𝑥 − ∞
(10)

und im weiteren

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Die Varianz ist also der quadratische Erwartungswert abzüglich des Quadrats des Erwartungswertes der Zufallsgröße.

Var(𝑋)= E( 𝑋2)− E2(𝑋)
(11)

Umgekehrt gilt:

2 2 E(𝑋 )= Var(𝑋)+ E (𝑋).
(12)

Für Zufallsgrößen mit verschwindendem Mittelwert ist die Varianz gleich dem Quadrat des Effektivwertes.7

E(𝑋)=0 2 2 Var(𝑋) = E(𝑋 )= ˜𝑋
(13)

Gleichverteilung

Eine der einfachsten Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist die sogenannte Gleichverteilung. Sie hat auf dem Intervall [𝑎,𝑏] eine konstante Wahrscheinlichkeitsdichte 𝑝(𝑥) und ist außerhalb dessen Null. Wegen der Bedingung

∫︁ ∫︁ ∞𝑝( 𝑥)d𝑥 = 𝑏𝑝(𝑥)d𝑥 = 1 −∞ 𝑎

muß sie folgender Gleichung für die Dichtefunktion genügen:

ꎧ ||| -1--- 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝑝(𝑥)= | 𝑏− 𝑎 |⎩ 0 sonst.
(14)

Der Erwartungswert nach Formel 9 bestimmt sich aus den Intervallgrenzen zu

∫︁ ∫︁ ∞ 𝑏--𝑥-- 1- 𝑏2-− 𝑎2 𝑎-+-𝑏 E(𝑋)= −∞ 𝑥 𝑝(𝑥)d𝑥 = 𝑎 𝑏 − 𝑎d𝑥 = 2 · 𝑏 − 𝑎 = 2 .
(15)

Die Varianz ermittelt sich nach Formel 10 ebenfalls relativ einfach.

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