5 Numerische Berechnungen

5.1 Der AGM-Algorithmus

Der Algorithmus des Arithmetisch-Geometrischen Mittelwertes (AGM) stellt eine effiziente Möglichkeit zur numerischen Berechnung des elliptischen Integrals erster Art dar [7, S. XIII], [19, IV, § 7], [9, II–7, § 6].⁵⁴ Er ist eine konsequente Anwendung der GAUSS-Transformation von Abschnitt 4.7.2 auf die elliptische Differentialgleichung 70 wiefolgt:⁵⁵

(158)

Aus der LEGENDRE-Form der elliptischen Differentialgleichung 70 kann man natürlich auch eine entsprechende GAUSS’sche Form ableiten. Dazu sollen zuerst die Darstellungsformen von Formel 9, 6, 7 und 8 rekapituliert und auf die Ausdrücke der linken und rechten Seite von Gleichung 158 angewandt werden.

Mit dieser Indizierung schreibt sich Differentialgleichung 70 in der GAUSS-Form

(159)

Bevor diese wichtige Relation nun bewiesen wird, sollen die Beziehungen zwischen den Modulen 𝑘 und 𝜆 auf der Basis von 𝑎_𝜈 und 𝑏_𝜈 dargestellt werden.

(160)

Ersetzt man auch auf der linken Seite noch das Modul, so ergibt sich folgende Gleichung.

Nach Erweiterung der rechten Seite wiefolgt

kann man (durch Vergleich von Zähler und Nenner) die Basisbeziehungen des AGM ableiten.

Mit diesen Voraussetzungen ist ein Beweis von Differentialgleichung 159 einfach zu erbringen.

Beweis. Dazu geht man von der LEGENDRE’schen Form in Differentialgleichung 158 aus.

Der “Multiplikator” 𝑎₀/(1 +𝑘) in dieser Darstellung ist nun aber genau Eins, was Anwendung von Formel 161 schnell zeigt (wenn man außerdem das Modul 𝑘 durch 𝜆′ ersetzt).

□

Was nun die Beziehung zwischen 𝑡₀ und 𝑡₁ angeht, so ist sie ja durch die trigonometrische Beziehung 119 der GAUSS-Transformation festgelegt.

Zurück zum eigentlichen Algorithmus läßt sich nun die folgende Iteration durchführen,

(164)

wobei die Anfangswerte 𝑎₀ und 𝑏₀ nicht-negative Zahlen (mit 𝑎₀ > 𝑏₀) sein sollen. Dabei nähern sich für 𝑖 → ∞ beide Werte 𝑎_𝑖 und 𝑏_𝑖 einem gemeinsamen Grenzwert,⁵⁶ dem sogenannten AGM [18].

(165)

Um diesen Grenzwert zu finden, bildet man zuerst das unbestimmte elliptische Integral

(166)

und kombiniert es mit Relation 159.

(167)

Die Beziehung zwischen den Integrationsgrenzen ist durch Gleichung 163 gegeben, d. h. wenn das Integrationsintervall auf der linken Seite von −∞ nach +∞ läuft, dann geschieht dasselbe auch auf der rechten Seite der Integralgleichung.

Nimmt man das rechtsseitige Integral als Ausgangspunkt für den nächsten Iterationsschritt,⁵⁷ so kann man unter Berücksichtigung von Formel 165 auch schreiben:

Bedenkt man weiterhin, daß der Integrand in Gleichung 166 eine gerade Funktion ist, kann folgende Integraldarstellung für M(𝑎₀,𝑏₀) gegeben werden:

(168)

5.2 Vollständiges Elliptisches Integral

Das Vollständige Elliptische Integral K kann ausgehend von Gleichung 168 ebenfalls mit Hilfe des AGM-Algorithmus’ berechnet werden. Dazu wird Gleichung 168 als vollständiges elliptisches Integral erster Art K ausgedrückt, indem man wieder Formel 28 hinzuzieht.

(169)

Umstellen nach K bedeutet:

Wählt man nun z. B. 𝑎₀ = 1, was die Voraussetzung 𝑎₀ > 𝑏₀ erfüllt und setzt 𝑘 = als Argument, so gilt für 𝑏₀ = = 𝑘′. Damit berechnet sich das Elliptische Integral erster Art zu:

(170)

was der zugehörige Algorithmus 1 wiederspiegelt.

Require:   𝜀 > 0 {Abbruchkriterium}
Require:   𝑘 ≤ 1 {Modul}
  𝑎₀ ⇐ 1
  𝑏₀ ⇐ 𝑘′ {𝑘′ = }
  𝑖 ⇐ 0
  
  repeat
   𝑎_𝑖+1 ⇐ {AGM}
   𝑏_𝑖+1 ⇐
   𝑖 ⇐ 𝑖 + 1
  until 𝑎_𝑖 −𝑏_𝑖 < 𝜀
  
  K ⇐

Für die Darstellung von K mit Hilfe des Modulwinkels 𝜙, d. h. für 𝑘 = sin 𝜙, ist 𝑏₀ = cos 𝜙 zu wählen.

Jetzt soll noch kurz auf die Produktdarstellung für K eingegangen werden. Dazu benutzen wir Formel 94 aus Abschnitt 4.7.1 im Sinne von Λ = K, 𝐾 = K und schreiben als reelle (Viertel-) Periodenbeziehung

mit dem Ausgangspunkt K = K. Bei einer unendlichen Anzahl von Iterationen wird 𝑘 Null und wegen Gleichung 26 gilt:

Das heißt, die Zwischenwerte 𝑎_𝑖 und 𝑏_𝑖 eines normalen AGM könnten zur Berechnung des Produkts verwendet werden, wenn man die Beziehung 𝑘_𝑖′ = 𝑏_𝑖/𝑎_𝑖 berücksichtigt.

5.3 Unvollständiges Elliptisches Integral

Der Berechnungsalgorithmus für F(𝜑; 𝑘) basiert auf der iterativen Verringerung des Moduls 𝑘 mit Hilfe der (aufsteigenden) LANDEN-Transformation von Abschnitt 4.7.1.⁵⁸ Dazu werden ausgehend von 𝜑₀ = 𝜑 und 𝑘₀ = 𝑘 die Formeln 108, 111 und 96 benutzt [5], [8].

𝑁-malige Anwendung der Gleichung 171 führt zu

(173)

Setzt man solange fort bis die Näherung 𝑘_𝑁 ≈ 0 akzeptabel wird, dann kann der Spezialfall F(𝜑; 0) = 𝜑 nach Formel 12 herangezogen werden

Einsetzen in Gleichung 173 ergibt letztlich:

Wegen der Periodizität des Tangens ist man vom Argument 𝜑 her zunächst auf das Intervall [−𝜋/2,+𝜋/2] beschränkt. Hier kann man sich jedoch mit Reduktionsformel 15 helfen, wobei dann allerdings die Berechnung von K mit Hilfe des AGM unumgänglich wird.

Praktisch wird allerdings fast immer der AGM-Algorithmus (vgl. Abschnitt 5.1) in Verbindung mit Gleichung 7 implementiert, um das unvollständige elliptische Integral F(𝜑; 𝑘) numerisch zu bestimmen. Dazu ist nur Gleichung 172 anzupassen,

denn die Modultransformation wird ja direkt durch das AGM realisiert.

In diesem Zusammenhang kommt für die Berechnung von 𝜑_𝑖 auch häufig Gleichung 109 in der Form

zur Anwendung.

5.4 Elliptischer Sinus

Wendet man die GAUSS-Transformation entsprechend Gleichung 113 zur Berechnung von sn(𝑢; 𝑘) = sn(𝑢₀; 𝑘₀) in der Form

an (vgl.  [5], [8]), so führt dies für 𝑘 < 1 letztlich zu einem Modul lim _𝑖→∞𝑘_𝑖 = 0. Bricht man den Vorgang nach 𝑁 Iterationen ab, so gilt:⁵⁹

Mit 𝑘_𝑁 ≈ 0 kann man für sn(𝑢_𝑁 ; 𝑘_𝑁 ) nun folgendermaßen nähern:⁶⁰

Nach Ermittlung von 𝑢_𝑁 kann man durch inverse Interpretation (𝑖 = 𝑁…0) der Abstiegsgleichung 174 rückwärts sn(𝑥₀; 𝑘₀) = sn(𝑥; 𝑘) berechnen.

Das Modul 𝑘_𝑖 kann hierfür äquivalent zu Formel 102 in jedem Schritt rückwärts berechnet werden.⁶¹

Nach [15] ist der absolute Gesamtfehler des Verfahrens kleiner als K 𝑘_𝑁 ²/2.

Require:   𝜀 > 0 {Abbruchkriterium}
Require:   𝑘 ≤ 1 {Modul}
  𝑥₀ ⇐ 𝑥
  𝑘₀ ⇐ 𝑘
  𝑎₀ ⇐ 1
  𝑏₀ ⇐ 𝑘′
  𝑖 ⇐ 0
  
  while 𝑘_𝑖 > 𝜀 do
   𝑘_𝑖+1 ⇐
   if 𝑘_𝑖+1 ≥ 𝑘_𝑖 then {Konvergenzproblem?}
   if 𝑘_𝑖+1 > 1/2 then {Fall 𝑘 = 1}
   𝑥 ⇐ tanh 𝑢
   else {Fall 𝑘 = 0}
   𝑥 ⇐ sin 𝑢
   end if
   return
   end if
  
   𝑥_𝑖+1 ⇐ {Gleichung 175}
   𝑎_𝑖+1 ⇐ {AGM}
   𝑏_𝑖+1 ⇐
   𝑖 ⇐ 𝑖 + 1
  end while
  
  𝑥_𝑖 ⇐ sin 𝑥_𝑖 {sn(𝑥_𝑁 ; 𝑘_𝑁 ) ≈ sn(𝑥_𝑁 ; 0) = sin 𝑢_𝑁 }
  
  repeat
   𝑥_𝑖−1 ⇐ {Gleichung 174}
   𝑖 ⇐ 𝑖 − 1 {Rückwärts-Rechnung}
  until 𝑖 = 0
  
  𝑥 ⇐ 𝑥₀