2 Elliptische Integrale

2.1 Überblick

Elliptische Integrale sind Integrale der Form ∫ 𝑅(𝑤,𝑥)𝑑𝑥, wobei 𝑅 eine rationale Funktion von 𝑤 und 𝑥, 𝑤² dagegen eine kubische oder biquadratische Funktion von 𝑥 ist.³ Alle diese Parameterintegrale lassen sich auf drei Grundformen reduzieren, die man das LEGENDRE’sche Normalintegral erster Art F(𝜑; 𝑘), zweiter Art E(𝜑; 𝑘) und dritter Art Π(𝜑; 𝑘; 𝑛) nennt [1, 17.4.41 ff.], [19, II, § 3], [9, II–6, § 2].

Der allen gemeinsame Parameter 𝑘 wird Modul genannt. Außerdem ist mit

(1)

ein komplementäres Modul definiert. Als hilfreich erweisen sich in vielen Fällen auch die binomischen Darstellungen des Moduls.

2.2 Unvollständiges elliptisches Integral erster Art

2.2.1 Definition

LEGENDRE’sche Normalform Das unvollständige elliptische Integral erster Art ist in seiner LEGENDRE-Form folgendermaßen definiert

(3)

wobei mit 𝑘 das Modul und 𝜑 die Amplitude bezeichnet wird.

JACOBI-Form Mit der Substitution 𝑡 = sin 𝜙 in Gleichung 3 gelangt man zu der von C.G.J. JACOBI bevorzugten Form.

(4)

Beweis. Einsetzen der Substitution sowie der Ableitung d𝑡/d𝜙 = cos 𝜙 in Definitionsgleichung 3 führt sofort zum Ergebnis

□

Um im weiteren die Eindeutigkeit zu gewährleisten und außerdem eine einfache Schreibweise des Integrals bei Verwendung des Argumentes 𝑥 zu erhalten, soll außerdem definiert sein:

(5)

RIEMANN’sche Normalform Eine weitere, heute nicht mehr so geläufige Form, ist die RIEMANN’sche Form. Sie kommt zustande, wenn man in der JACOBI’schen Darstellung nach Gleichung 5 den Term 𝑡² = 𝜉 substituiert. Mit dem zugehörigen Differential d𝜉 = 2𝑡 d𝑡 ergibt sich so

und letztlich (die nicht besonders gekennzeichnete) RIEMANN’sche Normalform des Integrals.

GAUSS-Form Eine von C.F. GAUSS intensiv verwendete Form des elliptischen Integrals erster Art⁴ ist

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mit dem Modul

(7)

sowie dem komplementären Modul (konform zu Definitionsgleichung 1)

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Beweis. Um dieses Integral auf F(𝜑; 𝑘) zurückzuführen, wird zuerst eine passende Substitution nach [1, 17.4.41 ff.] gewählt

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und dann mit Hilfe von (tan 𝜙)′ = 1 + tan ²𝜙 = cos ⁻²𝜙 die Ableitung d𝑡/d𝜙 gebildet.

Einsetzen in das Ausgangsintegral ergibt

Vergleich mit Formel 3 zeigt, daß es sich hier um das unbestimmte elliptische Integral erster Art 𝑎⁻¹F(𝜑; 𝑘) handelt.⁵ □

LEGENDRE’sche Normalform mit Modulwinkel Manchmal wird das elliptische Integral erster Art auch über den sogenannten Modulwinkel Θ, mit 𝑘 = sin Θ, angegeben.⁶

2.2.2 Spezielle Werte

Der Funktionswert für 𝜑 = 0 ist trivial und direkt aus Definitionsgleichung 3 ersichtlich.

Für 𝜑 = 𝜋/2 entartet die Funktion zum vollständigen elliptischen Integral erster Art K, wobei 𝑘 dann die Rolle des Arguments übernimmt (vgl. Abschnitt 2.3).

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Der Funktionswert bei 𝜑 = 𝜋 ergibt sich auf dieser Grundlage zu 2K.

Beweis.

□

2.2.3 Spezielle Module

Für spezielle Module sind geschlossene Lösungen des Integrals möglich.

2.2.4 Funktionsverlauf

Zuerst sei auf Abbildung 1 verwiesen, die F(𝜑; 𝑘) im Intervall 0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋/2 darstellt. Relativ leicht nachzuweisen ist, daß F(𝜑; 𝑘) eine ungerade Funktion ist.

Beweis. Mit der Substitution −𝜙 = 𝜓 in der Definitionsgleichung des Integrals kann man schnell beweisen, daß F(−𝜑; 𝑘) = −F(𝜑; 𝑘) gilt.

□

F(𝜑; 𝑘) ist für alle 𝜑 eine monoton steigende Funktion. Die Begründung liegt in Gleichung 16, der ersten Ableitung von F(𝜑; 𝑘). Für kleine Werte 𝑘 gilt F(𝜑; 𝑘) ≈ 𝜑K, was sich direkt aus Abbildung 1 ablesen läßt, wenn man außerdem Gleichung 11 berücksichtigt.

Eine besondere Bedeutung im Zusammenhang mit den elliptischen Funktionen (Abschnitt 3) hat folgende Relation, die auch in Abbildung 2 erkennbar ist.

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Beweis. Sie ergibt sich, wenn man mit 𝑛 = 1 beginnt und dann iterativ fortsetzt.

□

Außerdem ist Gleichung 14 eine logische Schlußfolgerung, wenn man wie gewohnt das Integral als Fläche unter der periodischen Kurve (1 − 𝑘² sin ²𝜙)^−1/2 interpretiert (vgl. Abbildung 3).

Aus der zweiten Ableitung nach Gleichung 17 und dem Funktionsverlauf entsprechend Abbildung 2 ist ersichtlich, daß die Wendepunkte bei 𝜐 · 𝜋/2 mit 𝜐 ∈ Z liegen.

2.2.5 Erste Ableitung

Das Differential von F(𝜑; 𝑘) ist nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung⁷

(16)

2.2.6 Zweite Ableitung

Nochmaliges Differenzieren der ersten Ableitung F′(𝜑; 𝑘) ergibt

2.2.7 Imaginäre Argumente

Für imaginäre Argumente entartet das unvollständige elliptische Integral zu

(18)

Beweis. Einsetzen des imaginären Arguments im Sinne von 𝜑 = j𝜉 in Definitionsgleichung 3 führt zu

Mit der (im Intervall ≤ 𝜋/2) eindeutigen Substitution

(19)

und deren Ableitung d𝜙/d𝜃 = j/cos 𝜃 kann man das Differential d𝜙/√︃ ____1 − 𝑘2 sin 2 𝜙 relativ einfach mit Hilfe des komplementären Moduls 𝑘′ ausdrücken.⁸

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Schreibt man die rechte Seite von Gleichung 18 mit Hilfe der GUDERMANN-Funktion gd 𝜉 = arctan(sinh 𝜉), dann gilt entsprechend:

2.3 Vollständiges elliptisches Integral erster Art

2.3.1 Definition

Das vollständige elliptische Integral erster Art wird meist in den folgenden drei Formen, die sich durch die Art des Arguments unterscheiden, angegeben:

Häufig ist auch die Darstellung in der LEGENDRE’schen Normalform nach Gleichung 24, die sich wieder mit der Substitution 𝑡 = sin 𝜙 aus Definitionsgleichung 21 ergibt.

(24)

Von Bedeutung ist auch das komplementäre elliptische Integral K ′.

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2.3.2 Spezielle Werte

2.3.3 Funktionsverlauf

Die Funktionsverläufe von K und K ′ sowie das Verhältnis beider Integrale für reelles Argument 𝑘 sind in Abbildung 4 dargestellt.

2.3.4 GAUSS-Form

Eine schon in Abschnitt 2.2 mit Hinweis auf C.F. GAUSS eingeführte Variante dieses Integraltyps ist

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Wie schon in Gleichung 6 kann es auch dargestellt werden als

Mit dem Modul entsprechend Gleichung 7 ergibt sich die Äquivalenz