Elliptische Funktionen

Die Definition der JACOBI’schen elliptischen Funktionen ist eng verknüpft mit der Umkehrfunktion des unvollständigen elliptischen Integrals erster Art 𝑢 = F(𝜑; 𝑘) in seiner LEGENDRE’schen Normalform nach Gleichung 3, der sogenannten Amplitudenfunktion.

Mit Hilfe von am(𝑢; 𝑘) können die drei elliptischen Basisfunktionen Sinus Amplitudinis sn, Cosinus Amplitudinis cn und Delta Amplitudinis dn folgendermaßen angegeben werden [10, § 17]:

Über das komplementäre Modul 𝑘′ = √------
1 − 𝑘2

sind weitere nützliche Identitäten zu ermitteln.

Gleichung 30 läßt nun auch die folgende neue Darstellung des unvollständigen elliptischen Integrals entsprechend Definitionsgleichung 5 zu.

Von den drei Basisfunktionen sind alle weiteren JACOBI’schen elliptischen Funktionen folgendermaßen abgeleitet:⁹ die mit den Buchstaben pq abgekürzte Funktion ist definiert als der Quotient der Basisfunktionen p und q. Dabei können p und q mit folgenden Buchstaben besetzt sein: s (sn), c (cn), d (dn), n (1), was zu 9 Varianten führt.

3.2 Spezielle Werte

Die speziellen Werte für die drei elliptischen Basisfunktionen ergeben sich direkt aus denen der Amplitudenfunktion am(𝑢; 𝑘),

welche sich selbst wiederum (im Sinne ihrer Definition als Umkehrfunktion) aus den speziellen Werten von F(𝜑; 𝑘) ergeben (vgl. Abschnitt 2.2).

Aus den Formeln für halbe Argumente (siehe Gleichung 54) kann man die Werte für 𝑢 = K/2 ermitteln.

3.3 Spezielle Module

Die folgenden speziellen Werte für das Modul 𝑘 ergeben sich direkt aus den Gleichungen 12 und 13.¹⁰

3.4 Funktionsverlauf

Durch die Anwendung der trigonometrischen Funktionen auf die Amplitudenfunktion am(𝑢; 𝑘) und wegen Gleichung 14 sind alle elliptischen Funktionen periodisch. Wie Abbildung 5 illustriert, ist dabei 𝐾 = K (𝑘)

entweder die sogenannte (reelle) Halb- oder Viertelperiode.¹¹ Die Funktionsverläufe aller anderen JACOBI’schen elliptischen Funktionen sind zum Beispiel in [1] zu finden.

Zu bemerken ist an dieser Stelle, daß anders als bei den trigonometrischen Funktionen im allgemeinen immer gilt sn(𝑢+𝐾; 𝑘) ≠ cn(𝑢; 𝑘).

3.5 Erste Ableitung

Um die Ableitung von sn(𝑢; 𝑘) zu bestimmen soll zuerst das Differential der Amplitudenfunktion am(𝑢; 𝑘) ermittelt werden. Unter Berücksichtigung von Gleichung 16 ergibt sich im Zusammenhang mit der Regel für die Ableitung einer Umkehrfunktion:

Die erste Ableitung für cn(𝑢; 𝑘) kann entweder in gleicher Art und Weise ermittelt werden, oder aber wie in [12, S. 19] durch direkte Differentiation von Gleichung 33.

Für dn(𝑢; 𝑘) kann wieder äquivalent vorgegangen werden, nur Ausgangspunkt ist diesmal Gleichung 34.

Mit 𝑥 = sn(𝑢; 𝑘) entsprechend der Definitionsgleichung 30 des elliptischen Sinus’ sowie den Relationen 33 und 34 lassen sich außerdem folgende Darstellungen angeben.

3.6 Zweite Ableitung

Für den elliptischen Sinus sei hier noch exemplarisch die zweite Ableitung entwickelt.

Wie für die erste Ableitung auch, kann man die Gleichungen ebenfalls auf der Basis von 𝑥 schreiben.

3.7 Additionstheoreme

Die Additionstheoreme der elliptischen Funktionen haben grundlegende Bedeutung für viele weitere Formeln. Deshalb haben zahlreiche Mathematiker des 18. und 19. Jahrhunderts, unter anderem A.-M. LEGENDRE, C.G.J. JACOBI, J. LANDEN und C.F. GAUSS, sich mit dem Beweis dieser Gleichungen beschäftigt.¹² Zuerst hat jedoch L. EULER im Jahre 1756/57 das Additionstheorem des elliptischen Sinus’ (EULER-Theorem) bewiesen [21, § 22·2], [9, S. II–3].

Beweis. Der hier dargelegte Beweis folgt (wie auch [2, § 28]) in wesentlichen Schritten den Ausführungen von J.G. DARBOUX. Als Ausgangspunkt dient dabei die Differentialgleichung der Transformationstheorie (Formel 69 für den Fall 𝜆 = 𝑘 und 𝑀 = 1),

für die hier eine Lösung gefunden werden soll. Genauso wie in Abschnitt 4.5 erweist es sich als günstig zur Parameterform des Differentials überzugehen.

d𝑢 = √︁-------d𝑥--------= √︁-------d𝑦-------- (1− 𝑥2)(1 − 𝑘2𝑥2) (1− 𝑦2)(1− 𝑘2𝑦2)

(41)

Die einzelnen Ableitungen nach 𝑢 kann man integrieren

und (bei Berücksichtigung der Integrationskonstante 𝐴) Gleichung 41 auch darstellen als:

𝑢− 𝑣 = 𝐴 .

Nach diesen einfachen Vorbetrachtungen differenziert man nun das Quadrat der Ableitungen 𝑑𝑥/𝑑𝑢 sowie 𝑑𝑦/𝑑𝑢 in den Gleichungen 42 nocheinmal nach 𝑢, also folgendermaßen:

Auf dem gleichen Weg gelangt man zu:

d2𝑦-- 2 2 2 d𝑢2 = 𝑦(2𝑘 𝑦 − 𝑘 − 1).

Stellt man die zuletzt gewonnenen Formeln nach 1 +𝑘² um und setzt sie nach Multiplikation mit 𝑥𝑦 beide gleich, so erhält man das folgende wichtige Zwischenergebnis

Jetzt soll unabhängig davon der Ausdruck

( )2 ( )2 𝑦2 d𝑥- − 𝑥2 d𝑦- d𝑢 d𝑢

bestimmt werden. Einsetzen der Ableitungen von 42 gefolgt von Ausmultiplizieren und Zusammenfassen führt zur nächsten Zwischengleichung.

Nun dividiert man Gleichung 43 durch die soeben entwickelte und wendet auf den linken Nenner den binomischen Satz an.

Es ist zu erkennen, daß auf beiden Seiten Zähler und Nenner dem logarithmischen Differentiationssatz [ln𝑓(𝑢)] ′ = 𝑓′(𝑢)/𝑓(𝑢) entsprechen.¹³

( ) -d- d𝑥- d𝑦- -d- ( 2 2 2 ) d𝑢 ln 𝑦d𝑢 − 𝑥d𝑢 = d𝑢 ln 𝑘 𝑥 𝑦 − 1

Integration nach 𝑢 und Einsetzen der Differentiale von Gleichung 42 führt zu

also

√︁---------------- √︁ ---------------- 𝑦 (1 − 𝑥2)(1− 𝑘2𝑥2)− 𝑥 (1− 𝑦2)(1 − 𝑘2𝑦2) --------------𝑘2𝑥2𝑦2-−-1---------------= 𝐶 .

Mit √----------------
(1 − 𝑥2)(1 − 𝑘2𝑥2) = cn(𝑢; 𝑘)dn(𝑢; 𝑘) und √ ----------------
(1− 𝑦2)(1− 𝑘2𝑦2) = cn(𝑣; 𝑘)dn(𝑣; 𝑘) nach Definitionsgleichung 32 und 30 gilt also:

𝐶 = sn𝑣-cn𝑢dn-𝑢−-sn𝑢-cn𝑣-dn𝑣 . 𝑘2𝑥2𝑦2 − 1

Die Konstante 𝐶 muß nun aber eine Funktion von 𝐴 sein, also 𝐶 = 𝜙(𝐴) = 𝜙(𝑢−𝑣) gelten. Um die Form von 𝜙 zu finden kann man z. B. 𝑣 = 0 setzen, was zu 𝐶 = sn(𝑢; 𝑘) = 𝜙(𝑢) führt. Also ist die Form von 𝜙 der elliptische Sinus und somit ist der Beweis auf der Grundlage des folgenden Subtraktionstheorems erbracht.

sn𝑣cn-𝑢dn-𝑢−-sn𝑢-cn𝑣dn-𝑣 sn(𝑢− 𝑣)= 𝑘2𝑥2𝑦2 − 1

□

Die beiden anderen elliptischen Basisfunktionen sind entweder genauso oder aber aus ihren Definitionsgleichungen abzuleiten. Hier wird jedoch darauf verzichtet und statt dessen nur das Ergebnis präsentiert (wobei in den Formeln wieder auf das Modul 𝑘 verzichtet wird).

Äußerst interessant sind auch die daraus abgeleiteten Relationen¹⁴ für den elliptischen Sinus

die insbesondere in der Transformationstheorie häufig auch in folgender Form anzutreffen sind (mit sn(𝐾 −𝑎) = cn 𝑎/dn 𝑎, vgl. Tabelle 3)

Im Zusammenhang mit den quadratischen Transformationen ist auch folgende Relation interessant

Beweis. Es handelt sich hier um einen Spezialfall von Formel 47 mit 𝑎 = 𝐾/2.

( 𝐾 ) ( 𝐾 ) sn2𝑢 − sn2(𝐾/2) (1 + 𝑘′)sn 𝑢− -- sn 𝑢+ -- = (1 + 𝑘′)----2--2----2----- 2 2 1 − 𝑘 sn 𝑢 sn (𝐾/2)

Ersetzt man noch den speziellen Wert sn(𝐾/2; 𝑘) = (1 + 𝑘′)^−1/2, so ist der Beweis schon erbracht.

□

3.8 Doppelte Argumente

Die Gleichungen für doppelte Argumente ergeben sich direkt aus den Additionstheoremen, wenn man 𝑢 = 𝑣 setzt.

Statt des jeweils gleichen Ausdrucks im Nenner dieser Formeln findet man in der Literatur auch häufig die äquivalenten Darstellungen

welche sich durch Einsetzen der Definitionsgleichungen 31 und 32 relativ einfach auf 1 −𝑘² sn ⁴𝑢 reduzieren lassen.

3.9 Halbe Argumente

Die Gleichungen für halbe Argumente sind aus dem Gleichungssystem für doppelte Argumente ableitbar, wenn man 𝑢 durch 𝑢/2 ersetzt und entsprechend umstellt [19, III, § 3].

3.10 Imaginäre Argumente

Ausgehend von den grundlegenden Definitionsgleichungen des elliptischen Sinus’

sowie den Beziehungen 18 und 19 zur imaginären Transformation des elliptischen Integrals F(𝜑; 𝑘) kann man für ein imaginäres Argument 𝑢 = j𝑣 schreiben:

ist JACOBI’s imaginäre Transformation für den elliptischen Sinus nun auf direktem Wege zu gewinnen [10, § 19].

Interessant ist daran vor allem zu erkennen, daß sn(𝑢; 𝑘) zusätzlich zur reellen Periode 2𝜔 = 4K (𝑘)

auch eine imaginäre Periode von 2𝜔′ = 2K ′
(𝑘 )

besitzt, d. h. es handelt sich um eine doppelt-periodische Funktion mit dem Periodenpaar (4𝐾, 2𝐾′).

Eine ähnliche Transformationsbeziehung kann man mit Hilfe der Verschiebungsrelation dn(𝑣+ K +j K ′; 𝑘) = j𝑘′sc(𝑢; 𝑘) angeben (siehe Tabelle 3).

Offensichtlich hat sn(𝑢; 𝑘) imaginäre Pole 𝑢✕𝜐, die genau dort liegen wo cn(𝑣; 𝑘′ ) verschwindet.¹⁵

Für cn ist diese Transformation ausgehend von Gleichung 31 recht schnell abzuleiten.

Beweis. Ausgehend von der Definitionsgleichung 32 für dn(𝑣; 𝑘) gilt:

□

Abschließend noch (ohne Beweis) die anderen elliptischen Funktionen für imaginäre Argumente.

Bemerkenswert ist, daß alle JACOBI’schen elliptischen Funktionen sowohl für imaginäre als auch reelle Argumente immer periodisch sind.¹⁶

3.11 Komplexe Argumente

Die Gleichungen für komplexe Argumente ergeben sich relativ einfach aus den Additionstheoremen 40, 45, 46 und den Formeln 57, 59, 60 für rein imaginäre Argumente. Am Beispiel der elliptischen Delta-Amplitude soll dies kurz dargestellt werden.

Die Formeln für die zwei anderen elliptischen Basisfunktionen können in gleicher Art und Weise gewonnen werden.¹⁷

Zur Veranschaulichung dieser Erkenntnisse sind in den Abbildungen 6 und 7 die von Real- und Imaginärteil aufgespannten Flächen grafisch dargestellt.¹⁸

Aus Zähler und Nenner in den Beziehungen 62, 63 sowie 61 kann man direkt auf die entsprechenden Pole und Nullstellen der elliptischen Basisfunktionen schließen. Tabelle 1 gibt einen Überblick zu deren Lage, wobei immer 𝛾,𝛿 ∈ Z gelten soll.

In der Transformationstheorie der JACOBI’schen elliptischen Funktionen (siehe Abschnitt 4) sind insbesondere die Werte auf dem Gitter 𝛾𝐾 + j𝛿𝐾′ interessant. Hervorzuheben sind dabei die folgenden Beziehungen:

Beweis. Aus Gleichung 62 ergibt sich sofort

□

Beweis. Es handelt sich hierbei um einen weiteren Trivialfall von Gleichung 62 mit cn(𝛽; 𝑘′ ) = 0 und sn(𝛽; 𝑘′ ) = 1.

□

und somit für das unvollständige elliptische Integral an der Stelle 𝑥 = 𝑘⁻¹ bezüglich Definitionsgleichung 5

Beweis. Dieser Fall ergibt sich aus dem vorherigen, indem man 𝑢 := 𝑢+𝐾 setzt.

□

Beweis. Aus dem Additionstheorem 61 kann man sofort ableiten

und dann mittels Definitionsgleichung 30 den Nachweis abschließen.

dn(𝑢+ 𝐾 + j𝐾′; 𝑘)= j𝑘′ sin𝜑-= j𝑘′tan𝜑 cos𝜑

□

In Tabelle 2 sind die (insbesondere für die elliptischen Modultransformationen, vgl. Abschnitt 4) interessanten Beziehungen für den elliptischen Sinus zusammengefaßt.

3.12 Änderung des Arguments

In diesem Abschnitt sollen noch einige Formeln für den Übergang auf andere Argumente genannt (und teilweise auch abgeleitet) werden. Eine komprimierte Übersicht zu den interessanten Fällen enthält Tabelle 3, eine vollständige Tabellierung für alle elliptischen Funktionen ist in [1, S. 16.8] zu finden.

Alle Formeln in Tabelle 3 ergeben sich direkt aus den Additionstheoremen 40, 45 und 46 sowie den Gleichungen für komplexe Argumente, wenn man jeweils die um 𝐾 bzw. 𝐾′ verschobenen Argumente betrachtet. Aus den Beziehungen in Tabelle 3 für die gilt sn(𝑢+ 2𝜔) = sn 𝑢 (beispielhaft für sn), ist sofort die reelle, imaginäre und komplexe Periode der elliptischen Basisfunktionen ersichtlich (siehe Tabelle 4 sowie Abbildungen 6 und 7).

Folgende spezielle (komplexe) Werte ergeben sich außerdem aus verschiedenen Fällen in Tabelle 3.


𝜂	𝜁	𝑢	sn(𝜂 K +j𝜁 K ′+𝑢; 𝑘)


gerade	gerade	imaginär (𝑢 = j𝜈)	j(−1)^𝜂/2sc(𝜈; 𝑘′ )

ungerade	gerade	imaginär (𝑢 = j𝜈)	(−1)^𝜂/2nd(𝜈; 𝑘′ )

gerade	gerade	reell	(−1)^𝜂/2sn(𝑢; 𝑘)

gerade	ungerade	reell	(−1)^𝜂/2𝑘⁻¹ns(𝑢; 𝑘)


𝑣 =	sn(𝑣; 𝑘)	cn(𝑣; 𝑘)	dn(𝑣; 𝑘)


−𝑢	−sn(𝑢; 𝑘)	cn(𝑢; 𝑘)	dn(𝑢; 𝑘)

𝑢+𝐾		−𝑘′

𝑢−𝐾	−	𝑘′

𝐾 −𝑢		𝑘′

𝑢+ 2𝐾	−sn(𝑢; 𝑘)	−cn(𝑢; 𝑘)	dn(𝑢; 𝑘)

𝑢− 2𝐾	−sn(𝑢; 𝑘)	−cn(𝑢; 𝑘)	dn(𝑢; 𝑘)

2𝐾 −𝑢	sn(𝑢; 𝑘)	−cn(𝑢; 𝑘)	dn(𝑢; 𝑘)

𝑢+ j𝐾′		−j	−j

𝑢+ 2j𝐾′	sn(𝑢; 𝑘)	−cn(𝑢; 𝑘)	−dn(𝑢; 𝑘)

𝑢+𝐾 + j𝐾′		−j	j𝑘′

𝑢+ 2𝐾 + 2j𝐾′	−sn(𝑢; 𝑘)	cn(𝑢; 𝑘)	−dn(𝑢; 𝑘)

𝑢+ 4𝐾 + 4j𝐾′	sn(𝑢; 𝑘)	cn(𝑢; 𝑘)	dn(𝑢; 𝑘)

3 Elliptische Funktionen

3.1 Definition