4 Modultransformationen

4.1 Einführung

Die Transformationstheorie der JACOBI’schen elliptischen Funktionen und Integrale befaßt sich mit den rationalen, algebraischen Lösungen 𝑦 = 𝑓(𝑥; 𝑘) der Differentialgleichung

(69)

Wie noch zu sehen sein wird, ist dieses Problem eng verknüpft mit der Transformation der JACOBI’schen elliptischen Funktionen auf solche Module (𝑘 → 𝜆, 𝑘′ → 𝜆′), die zu ganzzahligen Übersetzungen der Periodenverhältnisse führen (𝜔/𝜔′ → Ω/Ω′).

Die hier bevorzugte Betrachtungsweise ist (wie auch in [10, § 20]) vor allem analytisch, da sie dem Leserkreis vertrauter sein dürfte. Wegen der Vielzahl der existierenden Transformationsformeln ist als praktische Referenz die tabellarische Zusammenfassung in [2] empfehlenswert.

4.2 Problemstellung

Wie schon erwähnt ist es besonders Differentialgleichung 69, welche bezüglich der Transformationstheorie der elliptischen Funktionen eine zentrale Rolle spielt. Ihre äquivalente Schreibweise in der LEGENDRE’schen Normalform¹⁹ ergibt sich, wenn man wieder die Substitutionen 𝑥 = sin 𝜑 und 𝑦 = sin 𝜃 anwendet zu

(70)

wobei 𝑀 der sogenannte Multiplikator²⁰ und 𝜆 sowie 𝑘 die Module sind.²¹

Es gilt also, eine Substitution 𝜃 = Ψ(𝜑; 𝑘) zu finden, welche diese Äquivalenz erfüllt [7, § 219], [2, § 34], [18, § 5].²² Man kann das Problem auch so formulieren: Gesucht sind die Integrale bzw. Lösungsfunktionen 𝑦 = 𝑓(𝑥; 𝑘) der gewöhnlichen (impliziten) Differentialgleichung 69 erster Ordnung:²³

Das Finden der Integralkurve 𝑦 = 𝑓(𝑥; 𝑘) ist (wie so oft) nicht einfach, hat man aber zwei Transformationsfunktionen 𝑓 und 𝑔 gefunden, dann kann man durch aufeinanderfolgende Anwendung der entsprechenden Beziehungen auch mindestens eine dritte Transformation angeben.

Aus der letzten Gleichung wird sofort ersichtlich, daß der zugehörige Multiplikator das Produkt der beiden anderen Multiplikatoren 𝑀 und 𝐿 ist. Das Modul 𝛾 ist aus der Abhängigkeit von 𝜆 bekannt und kann durch die Beziehung 𝜆 = 𝜌(𝑘) auch als Funktion von 𝑘 ausgedrückt werden.

Außerdem enthält jede Transformation nach Formel 69 auch gleichzeitig eine “Rücktransformation”, wenn man die Umkehrfunktion 𝑓⁻¹ nutzt. Zum besseren Verständnis (und aus Gründen der Lesbarkeit) soll 𝑦₁ = 𝑥 = 𝑓⁻¹(𝑦) = 𝑓⁻¹(𝑥₁), 𝑥₁ = 𝑦, 𝜆₁ = 𝑘, 𝑘₁ = 𝜆 gesetzt werden, was d𝑦₁ = d𝑥 und d𝑥₁ = d𝑦 bedeutet.

Die Umkehrfunktionen (der Transformationsbeziehung 𝑦₁ = 𝑓⁻¹(𝑥₁) als auch des Moduls 𝜆₁ = 𝜌⁻¹(𝑘₁)) enthalten also prinzipiell eine weitere Transformation, deren Multiplikator 𝑀⁻¹ ist, wenn man im Sinne der eingeführten Größen die Richtung vertauscht.

4.3 Rationale Lösung

Schon C.G.J. JACOBI hat in [10] nachgewiesen, daß Lösungen der Differentialgleichung 70 algebraische Funktionen der Form 𝐹(𝑥,𝑦) = 0 sein können [19, S. IV], [9, II–5, § 4 ff.]. Für die implizite Darstellung solcher Funktionen wiefolgt

(72)

wobei 𝑝₀,𝑝₁,…𝑝_𝑚−1 ,𝑝_𝑚 Polynome in 𝑥 sind, kann bekanntermaßen in bestimmten Spezialfällen eine explizite Lösungsformel 𝑦 = 𝑓(𝑥) ermittelt werden. Bei dem gesuchten Integral 𝑓(𝑥) handelt es sich in den einfachsten Fällen um eine irrationale (𝑚 = 2) oder rationale Funktion (𝑚 = 1), wobei sich Letztere als

(73)

mit den Polynomen

darstellen läßt.²⁴

Um für diesen Funktionstyp den Nachweis zu erbringen, daß es sich um eine Lösung von Differentialgleichung 70 handelt, folgen wir [7, § 218 ff.] und setzten zuerst 𝑈 = 𝑈(𝑥) bzw. 𝑉 = 𝑉(𝑥) und bilden dann sowie die Ableitung 𝑦′.

Dividiert man die Ableitung 𝑦′ durch entsteht der Ausdruck

welcher ja letztlich der rechten Seite von Gleichung 69 (multipliziert mit 𝑀⁻¹) entsprechen soll.

Notwendige Voraussetzung dafür ist zuerst einmal, daß für den Grad der Polynome 𝑈 und 𝑉 die Einschränkung |𝑑| = |𝑛 − 𝑛′| ≤ 1 gilt, d. h. entweder beide Polynome sind vom Grad 𝑛 (bzw. 𝑛′) oder eines ist vom Grade 𝑛, das andere aber 𝑛− 1.²⁵

Beweis. Der Nachweis basiert auf der letzten Gleichung in folgender Darstellung

und vergleicht einfach den Grad von links- und rechtsseitigem Polynom (mit entsprechender Fallunterscheidung).

Eine Funktion ist also vom Grad 𝑛, die andere vom Grad 𝑛 − 1 und deshalb die Differenz 𝑑 = 𝑛−𝑛′ = ±1. Allerdings ergeben sich dieselben Verhältnisse auch für 𝑛 = 𝑛′ (also 𝑑 = 0), denn in diesem Fall verschwindet der höchstwertige Koeffizient (mit Wert 𝑎_𝑛𝑏_𝑛′𝑑) in 𝑈′𝑉 −𝑈𝑉′. Verringert man entsprechend den linksseitigen Grad in Gleichung 75 um Eins (auf der rechten Seite bleibt alles wie gehabt), dann wird sofort erkennbar, daß auch 𝑛 = 𝑛′ eine Lösungsmöglichkeit ist. □

Nimmt man nun an, daß sich in Gleichung 74 ein Faktor (𝑥 − 𝑐)² vom Ausdruck (𝑈² −𝑉²)(𝑈² −𝜆²𝑉²) abspalten läßt, dann ist der Term 𝑥 −𝑐 in 𝑈′𝑉 −𝑈𝑉′ ebenfalls als Faktor enthalten.

Beweis. Ist (𝑥 − 𝑐)² ein Faktor (𝑐 eine doppelte Nullstelle) von 𝑈² − 𝑉² oder 𝑈² − 𝜆²𝑉², dann ist (𝑥−𝑐)² auch ein Faktor von 𝑈 −𝑉 oder 𝑈 +𝑉 bzw. 𝑈 −𝜆𝑉 oder 𝑈 +𝜆𝑉. Betrachten wir im weiteren nur den Fall, daß der Faktor (𝑥−𝑐)² in 𝑈−𝑉 enthalten ist (gleiches gilt für die anderen Fälle). Es ergeben sich dann die Darstellungen

mit den Ableitungen nach 𝑥

Bildet man jetzt

dann bestätigt das gemeinsame Vorkommen des Faktors 𝑥 − 𝑐 in allen Summanden unsere Annahme. □

Setzt man eine solche Abspaltung für alle 2𝑛− 2 Wurzeln von 𝑈′𝑉 −𝑈𝑉′ fort, dann bleibt in (𝑈² − 𝑉²)(𝑈² − 𝜆²𝑉²), dessen Grad ja 4𝑛 ist, ein Produktterm vom Grad 4 übrig, der nicht mehr gekürzt werden kann. Mit den konstanten Koeffizienten 𝑑_𝑖 ergibt sich demzufolge die Darstellung:²⁶

Kehrt man mit diesen Formeln zurück zur Ausgangsgleichung 74

und berücksichtigt außerdem, daß eine Überführung des besagten Produktterms in die Form (1 −𝑥²)(1 −𝑘²𝑥²) immer möglich ist (siehe [19, II, § 3], [21, § 20·54, §20·6]), dann ist mit einer rationalen Polynomfunktion 𝑦 = 𝑓(𝑥) die elliptische Transformation nach Gleichung 70 möglich.²⁷ Aus dieser Feststellung heraus kann man bezüglich der Bestimmung der Koeffizienten von 𝑈 und 𝑉 noch die Bedingung

formulieren.

4.4 Elliptische Lösung

Eine auf elliptischen Funktionen basierende Lösung der Differentialgleichung 70 ist ermittelbar, wenn man zu einer Parameterdarstellung mit Hilfe der neuen Variablen 𝑢 übergeht.²⁸

Integriert man nun beide Seiten und nimmt die Definitionsgleichung 29 der Amplitudenfunktion des elliptischen Sinus’ (Gleichung 30) hinzu, so ergibt sich für 𝑥

In Gleichung 76 wurde auf die Einführung einer Integrationskonstante verzichtet, da man ohne wesentliche Einschränkung vom Funktionswert 𝑢 = 0 für 𝜑 = 0 ausgehen kann.

Für 𝑦 erhält man in gleicher Art und Weise

wobei diesmal eine Integrationskonstante 𝐶 berücksichtigt werden muß.

Fragt man sich nun, welche Werte der Parameter 𝑢 grundsätzlich annehmen darf, damit 𝑥 reell wird, dann ist ein Blick auf Abbildung 8 hilfreich. Sie zeigt nocheinmal den Verlauf von sn für komplexe Argumente, wobei die zusätzlichen Parameterlinien anschaulich illustrieren,²⁹ daß 𝑥 nur entlang der Geraden 𝑢+ j𝛽𝐾′ für reelles 𝑢 und 𝑢+𝛼𝐾 für imaginäres 𝑢 nicht komplex ist (𝛼,𝛽 ∈ Z).

Mit diesem Wissen kann man bezüglich 𝑥 den mit Pfeilen markierten “Wertepfad” in Abbildung 8a für das Argument 𝑢 angeben. Dieser Weg garantiert zwar, daß 𝑥 monoton Werte zwischen 0 und ∞ annimmt, jedoch sind weitere 𝑥-Werte möglich, wenn man die Periodizität des elliptischen Sinus’ berücksichtigt.

Soll auch 𝑦 (oder zumindest 𝑦²) reell sein,³⁰ dann muß sich 𝑢+𝐶 auf dem Gitter 𝛾𝑀Λ+ j𝛿𝑀Λ′ (𝛾,𝛿 ∈ Z) bewegen. Abbildung 9 illustriert dieses anschaulich, wobei folgende Definitionen für die reelle bzw. imaginäre Periode von 𝑥 und 𝑦 gelten sollen:³¹

Sinnvolle Werte für die Integrationskonstante 𝐶 sind entsprechend nur 𝐶 = 0 und 𝐶 = ±𝑀Λ, wobei der Wert ±𝑀Λ rein reelle Werte für 𝑦 bei geradem 𝛾 ermöglicht.³² Auf der Grundlage dieser Betrachtungen, welche ja im Wesen auf der doppelten Periodizität des elliptischen Sinus’ basieren, kann man (ohne etwas zu verändern) die Gleichungen 76 und 77 auch folgendermaßen schreiben:³³

Soll gewährleistet sein, daß nur eine endliche Anzahl möglicher (unterschiedlicher) 𝑥-Werte zu einem bestimmten Wert 𝑦 gehören (sowie umgekehrt),³⁴ dann muß man ausgehend von diesen Gleichungen die Periodenbedingung

formulieren. Separiert man darin Real- und Imaginärteil, dann ergibt sich für den Fall eines reellen Multiplikators 𝑀

(78)

und im einfachsten Fall, d. h. wenn 𝛼 = 𝛽 = 1 gilt

Für den Fall eines ganzzahligen Verhältnisses 𝛾/𝛿 bzw. 𝛿/𝛾, also eines Periodenverhältnisses der Form

(80)

spricht man bezüglich der Beziehung zwischen 𝑘 und 𝜆 von einer Modulgleichung vom Grad 𝑛.

Der Spezialfall 𝛾 = 𝑛, 𝛿 = 1 wird dabei als die 1. elliptische Haupttransformation (𝑛-te Teilung der reellen Periode), der Fall 𝛾 = 1, 𝛿 = 𝑛 als 2. elliptische Haupttransformation (𝑛-te Teilung der imaginären Periode) bezeichnet.

4.5 Die Transformationsfunktion

Hier sollen nun ausgewählte Eigenschaften der Transformationsfunktion 𝑓(𝑥; 𝑘) bzw. des Differentials (von Gleichung 69) ermittelt werden. Die charakteristischen Eigenschaften sollen später dazu dienen, Aussagen zur Form von 𝑓(𝑥; 𝑘) machen zu können.

Reziproke Argumente Im Zusammenhang mit reziproken Argumenten sei auf folgende bemerkenswerte Eigenschaft von 𝑓(𝑥; 𝑘) hingewiesen:

(81)

Beweis. Ersetzt man im Ausdruck d𝑥/ der Gleichung 69 die Variable 𝑥 durch 1/𝑘𝑥₁

dann ändert sich nur das Vorzeichen der rechten Seite.

Substituiert man nach der gleichen Methode nun auch 𝑦 durch 1/𝜆𝑦₁, dann tritt auf der linken Seite ebenfalls (nur) eine Vorzeichenumkehr auf und die Differentialgleichung 69 ändert sich überhaupt nicht.³⁵ Folglich sind 𝑥₁ und 𝑦₁ ebenfalls durch 𝑦₁ = 𝑓(𝑥₁; 𝑘) verbunden und es gilt:

d. h. die Transformationsfunktion 𝑓 muß die Eigenschaft laut Gleichung 81 aufweisen. □

Funktionsverlauf Weitere Eigenschaften der Lösungsfunktion ergeben sich aus den Betrachtungen von Abschnitt 4.3 sowie 4.4. Dazu sei hier nocheinmal auf Abbildung 8a verwiesen, welche den Verlauf des Parameters 𝑢 in der komplexen Ebene zeigt. Sie zeigt den Weg des Parameters 𝑢 insbesondere für die elliptischen Haupttransformationen (𝛾 = 𝑛, 𝛿 = 1 bzw. 𝛾 = 1, 𝛿 = 𝑛) sehr anschaulich. Für diese Fälle entarten die Gleichungen 76 und 77 auf den Wegabschnitten ⃝ 2 und ⃝ 3 (vgl. Abschnitt 3.11).

Für den Fall 𝐶 = 0 enthält Tabelle 5 eine Übersicht in Bezug auf den Verlauf von 𝑢 nach Abbildung 8.

Weg	Re(𝑢)	Im(𝑢)	𝑥	±𝑦
1	0 ≤ Re(𝑢) ≤ 𝐾	0	sn(𝑢; 𝑘)	sn(𝑢/𝑀; 𝜆)
2	𝐾	0 ≤ Im(𝑢) ≤ 𝐾′	nd	⃝ a j sc ⃝ b nd
3	𝐾≤ Re(𝑢) ≤ 2𝐾	𝐾′	𝑘−1 ns	⃝ a sn(𝑢/𝑀; 𝜆) ⃝ b 𝜆−1 ns

Auf Wegabschnitt ⃝ 2 determiniert 𝛾 (gerade/ungerade) welche Gleichung für 𝑦 zutrifft, auf Abschnitt ⃝ 3 ist es 𝛿. Ist 𝛾 bzw. 𝛿 gerade, dann trifft jeweils Formel ⃝ a zu (irrationale Lösung), im anderen Fall ist es ⃝ b (rationale Lösung). Als spezielle Funktionswerte ergeben sich daraus

Eine wesentliche Schlußfolgerung der vorangegangenen Ausführungen sowie der Gleichungen in Tabelle 5 ist die, daß 𝑓(𝑥; 𝑘) in diesem Fall eine ungerade Funktion sein muß.

Der Fall 𝐶 = ±𝑀Λ führt zu einer Verschiebung von 𝑦 entlang der reellen Achse, wodurch 𝑦 = 𝑓(𝑥; 𝑘) zu einer geraden Funktion wird. Mit Hilfe der Verschiebungsrelationen nach Tabelle 3 kann man auch hier eine Übersicht angeben, welche Tabelle 6 präsentiert. Ist 𝛾 bzw. 𝛿 gerade, dann trifft jeweils Formel ⃝ a zu, im anderen Fall ist es ⃝ b.

Als spezielle Funktionswerte ergeben sich hier:

Rationale Lösungen Mit den soeben gewonnen Erkenntnissen kann man die rationale Lösung nach Formel 73 konkretisieren.

(84)

Herangezogen wurden dazu all die Fälle, welche in den Tabellen 6 und 5 rein reelle Funktionsverläufe erzeugen, also

• 𝛾 ungerade für 𝐶 = 0 (ungerade Funktion)
• und 𝛾 gerade für 𝐶 = 𝑀Λ (gerade Funktion).

Nun soll noch nachgewiesen werden, daß die Koeffizienten 𝑎_𝜈 und 𝑏_𝜇 der Polynome 𝑈(𝑥) und 𝑉(𝑥) der rationalen Lösung nach Gleichung 73 nicht unabhängig voneinander, sondern durch folgenden Relation verbunden sind.

Beweis. Um diese Beziehung einfach zu begründen soll unser Augenmerk der Linearfaktordarstellung von 𝑈(𝑥) und 𝑉(𝑥) mittels der Polstellen 𝑥✕ und Nullstellen 𝑥◦ gelten. Im ersten Schritt wird dazu 𝑓(1/𝑘𝑥; 𝑘) gebildet.

Nach Gleichung 81 und wegen 𝑥◦𝑛−1 = 0 muß nun gelten

Setzt man im Zähler die speziellen Werte 𝑥 = 𝑘⁻¹𝑥◦−1 𝜈 , dann müssen sowohl links- als auch rechtsseitiger Ausdruck verschwinden.³⁶

Sind die Pole 𝑥✕𝜇 aber schon durch die Nullstellen 𝑥◦𝜈 determiniert, dann hängen auch die Koeffizienten 𝑏_𝜇 von 𝑎_𝜈 ab. □

Aus Gleichung 86 kann man, wenn andere spezielle Werte wie z. B. 𝑥 = 1 eingesetzt werden, auch das Modul 𝜆 bestimmt werden.

4.6 Transformationen erster Ordnung

Eine tabellarische Übersicht der Transformationen erster Ordnung sowie der geeigneten Substitutionen ist unter anderem in [19, lV, § 2] zu finden. Wir beschränken uns hier auf zwei wichtige Transformationen – JACOBI’s reelle sowie imaginäre Transformation.

4.6.1 Imaginäre Transformation

Die imaginäre Transformation wurde in Bezug auf das elliptische Integral erster Art schon in Abschnitt 2.2, für den elliptischen Sinus in Abschnitt 3.10 behandelt. Um die Parameter 𝑀 und 𝜆 aus der allgemeinen Gleichung 70 zu ermitteln, ist ein Blick auf Beziehung 18 notwendig.

Diese Gleichung ist nun der folgenden speziellen Ausprägung von Differentialgleichung 70

(87)

mit der Substitution nach Gleichung 19

äquivalent. Aus der spezifischen Beziehung 87 kann man durch Vergleich mit Differentialgleichung 70 sofort den Multiplikator und die zugeordnete Modulgleichung (vom Grad Eins) ablesen.

Die Bestimmung des Periodenverhältnisses ist mit diesen Werten kein Problem mehr.

(90)

Die rationale Beziehung zwischen 𝑥 und 𝑦 ist schon in der Substitution 19 enthalten, wenn man (wie immer) Gleichung 76 sowie 77 berücksichtigt.

4.6.2 Reelle Transformation

JACOBI’s reelle Transformation nach folgender Gleichung

(91)

ermöglicht es, bei allen elliptischen Funktionen auch Module 𝑘 > 1 zuzulassen.

Beweis. Ausgehend vom Argument des Integrals F(𝜑; 𝑘)

nimmt man die Substitution sin 𝜃 = 𝑘 sin 𝜑, welche ja eine algebraische Beziehung erster Ordnung, nämlich 𝑦 = 𝑘𝑥 verkörpert, vor. Mit der Ableitung d𝜃/d𝜑 = 𝑘 cos 𝜑/cos 𝜃 erhält man wieder die typische Differentialgleichung

aus welcher nur noch die Parameter 𝑀 und 𝜆 konform zu Gleichung 70 abgelesen werden müssen. □

Beweis. Mit den allgemeinen Beziehungen 76 und 77 sowie der vorgenommenen Substitution sin 𝜑 = 𝑘⁻¹ sin 𝜃 ist der abschließende Beweis möglich.

□

4.7 Quadratische Transformationen

Quadratische Transformationen sind durch eine Modulgleichung vom Grad 𝑛 = 2 bestimmt,³⁷ also durch Periodenverhältnisse wie z. B.

(93)

4.7.1 LANDEN-Transformation

Die LANDEN-Transformation ist wahrscheinlich der bekannteste Vertreter aller quadratischen Transformationen [1, S. 17.5], [21, § 22·42], [2, § 38], [7, § 254], [19, IV, § 7], [9, II–7, § 5]. Sie ist gekennzeichnet durch die “Periodenbeziehungen”

welche eine Teilung der ersten (also reellen) Periode durch zwei anzeigen.³⁸

Transformationsbeziehung Die mit Gleichung 94 verbundenen Transformationsbeziehungen sind:³⁹

Beweis. Beschränkt man sich auf die Periodenrechtecke um den Koordinatenursprung dann liegen die Nullstellen von sn(𝑢/𝑀; 𝜆) bekanntlich bei 𝑢◦ = 0,±2𝑀Λ, was nach den Periodenverhältnissen laut Gleichung 94 äquivalent zu 𝑢◦ = 0,±𝐾 ist. Demzufolge liegen die Nullstellen bezüglich 𝑥 bei 𝑥◦ = 0,±1. In gleicher Art und Weise ergibt sich für die Pole 𝑢✕ = 2𝑀Λ± j𝑀Λ′ = 𝐾 ± j𝐾′ und entsprechend für 𝑥

In Bezug auf den allgemeinen Lösungsansatzes muß es sich für 𝑦 = 𝑓(𝑥; 𝑘) also um eine Beziehung der Form

(98)

handeln. Um nun die Werte für den Multiplikator 𝑀, das Modul 𝜆 sowie 𝐴 zu bestimmen ist es günstig in beiden Lösungsansätzen das Verhältnis 𝑦/𝑥 zu bilden und dann gleichzusetzen.

(99)

Setzt man nun noch die drei ausgewählten Werte 𝑢 = 𝐾/2, 𝑢 = 0 und 𝑢 = j𝐾′ ein, dann sind die (ebenfalls drei) Unbekannten leicht zu bestimmen. □

1. An der Stelle 𝑢 = 𝐾/2 = 𝑀Λ nimmt nach Gleichung 38 der elliptische Sinus (und demzufolge auch 𝑥) den Wert (1 +𝑘′)^−1/2 an und es gilt

   

   1. Setzt man nun den Wert 𝑢 = 0 und folglich auch 𝑥 = 0 in Gleichung 99 ein, dann wird wegen der Unbestimmtheit des rechtsseitigen Ausdrucks eine Grenzwertbestimmung nach der Regel von BERNOULLI-L’HOSPITAL notwendig.

      

   2. Den dritten Wert 𝑢 = j𝐾′ = j𝑀Λ′ kann man beim rechtsseitigen Grenzübergang auf den vorhergehenden Fall zurückführen, wenn sn(𝑢+ j𝐾′; 𝑘) = 𝑘⁻¹ns(𝑢; 𝑘) bzw. sn(𝑢/𝑀 + jΛ′; 𝜆) = 𝜆⁻¹ns(𝑢/𝑀; 𝜆) nach Tabelle 3 beachtet wird. Um auch den linksseitigen Grenzwert ermitteln zu können, sind vorbereitend noch Zähler und Nenner durch 𝑥 zu dividieren.

      

Eine weitere interessante Darstellung der Transformationsbeziehung ist möglich, wenn man die Verschiebungsrelation sn(𝑢+𝐾; 𝑘) = cd(𝑢; 𝑘) zu Hilfe nimmt.

In äquivalenter Art und Weise kann auch die folgende Formel abgeleitet werden, wenn man die Periodenbeziehungen 94 der LANDEN-Transformation berücksichtigt.

Funktionsverlauf Der Verlauf der Transformationsbeziehung 𝑦 = 𝑓(𝑥; 𝑘) entsprechend Gleichung 98

(100)

ist in Abbildung 10 grafisch dargestellt.

Im Gegensatz dazu zeigen die einzelnen Bilder in Abbildung 11 die äquivalente Parameterdarstellung nach Gleichung 76 und 77. Der Parameter 𝑢 läuft wieder auf dem Wegabschnitt ⃝ 1 in Abbildung 8a von 0 nach 𝐾, dann auf dem Teilstück ⃝ 2 bis 𝐾 + j𝐾′ und zuletzt bis zum Punkt 2𝐾 + j𝐾′ (bzw. rückwärts nach j𝐾′).

Das Modul 𝜆 Um eine Vorstellung vom Verlauf der Modulgleichung 𝜆 = 𝜌(𝑘) zu bekommen, wurde Formel 96 in Abbildung 12 grafisch dargestellt.⁴⁰

Aus der Modulbeziehung 96 können außerdem die folgenden nützlichen Vertauschungsrelationen abgeleitet werden.

Gebräuchliche Darstellungen für das Modul 𝑘 sind außerdem

die wegen der Symmetrie von Formel 96 äquivalent auch für 𝜆′ gelten.

(103)

Eine weitere nützliche Formel für 𝜆 ist die folgende

die sich aus der Multiplikation von Gleichung 96 mit 1 +𝑘′ bzw. 1 −𝑘′ unter Berücksichtigung der Definition des komplementären Moduls in Formel 1 ergibt.

Beziehungen für cn Die Transformationsbeziehung für cn(𝑢/𝑀; 𝜆) lautet

(104)

Beweis. Ausgangspunkt soll Definitionsgleichung 31 sowie die LANDEN-Transformation des elliptischen Sinus’ in Formel 95 sein. Nach Kombination beider Gleichungen multipliziert man zuerst alle Terme aus, extrahiert danach (1 + 𝑘′)sn2(𝑢; 𝑘) und vereinfacht abschließend durch Anwendung des binomischen Satzes.

□

Beziehungen für dn Die Beziehung für dn kann ebenfalls ausgehend von der des elliptischen Sinus’ in Gleichung 95 und mit Hilfe seiner Definitionsgleichung 32 ermittelt werden.

(105)

Beweis.

Ausmultiplizieren sowie nachfolgende Anwendung des Binomischen Satzes führt zu

□

Die weitere Umformung der rechten Seite von Gleichung 105 kann jetzt noch so erfolgen, daß sie einzig und allein auf dn(𝑢; 𝑘) basiert.

Beweis. Für den Beweis verwendet man am einfachsten Definitionsgleichung 32 und Hilfsformel 2.

□

Trigonometrische Beziehungen Bezüglich Differentialgleichung 70 ist die LANDEN-Transformation durch die Substitution

(106)

gekennzeichnet. Mit der Beziehung für doppelte Winkel sin 2𝜑 = sin 𝜑 cos 𝜑 ist äquivalent dazu

Aus Gleichung 104 ergibt sich folgerichtig für den Cosinus

(107)

und mit dem Theorem sin ²𝜑 = (1 − cos 2𝜑) sowie der Modulbeziehung 96

Insbesondere für numerische Berechnungen hat der trigonometrische Tangens Bedeutung. Die entsprechenden Beziehungen können direkt aus Formel 95 sowie 104 gewonnen werden.

(108)

Eine weitere oft verwendete Darstellungsvariante auf der Grundlage des Tangens ist

(109)

Beweis. Ausmultiplizieren von Gleichung 108 gefolgt von Umstellen nach 𝑘′ tan 𝜑 ergibt

Mit dem Additionstheorem tan(𝛼 −𝛽) = kann man nach tan(𝜃 −𝜑) auflösen.

□

Eine ebenfalls oft zu findende Darstellung mit Hilfe des trigonometrischen Sinus’ lautet:

Beweis. Sie kann aus Gleichung 109 abgeleitet werden, wenn man die trigonometrische Produktformel sin 𝛼 cos 𝛽 = 1/2 anwendet.

□

Beziehungen für F(𝜑; 𝑘) Aus den allgemeinen Transformationsbeziehungen 77 und 76 sowie Formel 97 resultiert sofort folgende Darstellung

4.7.2 GAUSS-Transformation

Die GAUSS-Transformation realisiert im Gegensatz zur LANDEN-Transformation (welche die reelle Periode teilt) eine Division der imaginären Periode durch zwei [2, § 39], [7, § 246]. Sie wird in vielen Literaturquellen durch folgende Gleichungen beschrieben.

Es ist nun relativ einfach die GAUSS-Transformation mit Hilfe der elliptischen Funktionen direkt aus der LANDEN-Transformation abzuleiten.⁴¹

Beweis. Nimmt man als Ausgangspunkt Gleichung 95 der LANDEN-Transformation und ersetzt sn(𝑢; 𝑘)cd(𝑢; 𝑘) mit Hilfe von Gleichung 52, dann ergibt sich

Quadrieren und Umstellen nach dn(2𝑢; 𝑘) führt zu einer ersten recht bekannten Gleichung der GAUSS-Transformation.

Will man die Beziehungen für den elliptischen Sinus ermitteln, dann ist auf der linken Seite noch sn(2𝑢; 𝑘) zu extrahieren. Dazu verwendet man am am einfachsten Definitionsgleichung 32 der Delta-Amplitude sowie Hilfsformel 102.

Nimmt man zuletzt noch die Ersetzungen

vor und bezieht die Transformationsbeziehungen 95, 97, und 96 mit ein, dann erhält man die Beziehungen der GAUSS-Transformation.⁴²

□

Beziehungen für dn Für die Delta-Amplitude dn ergibt sich die Transformationsbeziehung recht einfach aus Zwischenformel 116, wenn Gleichung 34 in der Form

berücksichtigt wird.

Beziehungen für cn Die noch ausstehende Beziehung für cn lautet

(118)

Trigonometrische Beziehungen Die gesuchte Beziehung für den Sinus erhält man wieder durch direkte Umsetzung von Transformationsbeziehung 113 mit Hilfe der trigonometrischen Äquivalenzen in Gleichung 70 sowie 30.

Eine eng mit der GAUSS-Form des elliptischen Integrals erster Art (siehe Gleichung 6) verbundene Darstellung ist immer die über den Tangens. Sie kann aus der vorangegangenen Gleichung sowie dem Äquivalent für den Cosinus nach Formel 118

gewonnen werden, wenn man dann noch die trigonometrische Beziehung sin ²𝜑 = tan ²𝜑/(1 + tan ²𝜑) hinzuzieht.

Periodenverhältnis Die Bestimmung des Periodenverhältnisses gestaltet sich ausgehend von den Periodenbeziehungen der LANDEN-Transformation relativ einfach. Man muß dabei nur Gleichung 94 auf die mit einem tiefgestellten “g” gekennzeichneten Größen der GAUSS-Transformation umsetzen.

4.8 Erste elliptische Haupttransformation, n ungerade

4.8.1 Periodenbeziehungen

Charakteristisch für die 1. elliptische Haupttransformation ist, daß die reelle Periode 2Ω = 4𝑀Λ von 𝑦 = 𝑔(𝑢/𝑀; 𝜆) genau 𝑛-mal die reelle Periode 2𝜔 = 4𝐾 von 𝑥 = sn(𝑢; 𝑘) teilt, die imaginären Perioden aber gleich sind (𝑛-te Teilung der ersten Periode,⁴³ vgl. Fall 𝛾 = 𝑛, 𝛿 = 1 in Abschnitt 4.5).

Das sich ergebende Periodenverhältnis

(123)

zeigt, daß es sich bei der Beziehung zwischen 𝜆 und 𝑘 um eine Modulgleichung vom Grad 𝑛 handelt.⁴⁴

Den Verlauf für 𝑥 und 𝑦 im Bereich −𝐾 ≤ 𝑢 ≤ 𝐾 in Abhängigkeit vom Parameter 𝑢 zeigt Abbildung 13.

4.8.2 Funktionsverlauf

Für ungerades 𝛾 = 𝑛 muß die Integrationskonstante 𝐶 aus Abschnitt 4.5 verschwinden, damit 𝑦 auf Wegabschnitt ⃝ 2 in Abbildung 8a reell ist.⁴⁵

(124)

Der zugeordnete Verlauf des Parameters 𝑢 ist für diesen Fall nocheinmal anschaulich in Abbildung 14 illustriert (inklusive der positiven Nullstellen und Pole), wobei fett dargestellte Gitternetzlinien reelle Werte des elliptischen Sinus’ kennzeichnen.

Der Funktionsverlauf von 𝑦 = 𝑓(𝑥; 𝑘) ist in Abbildung 15 dargestellt.

Er ist direkt aus dem Gitter in Abbildung 14 erklärbar, wenn man folgendes bedenkt:

1. Auf Wegabschnitt ⃝ 1 läuft 𝑥 von 0 nach 1 (𝑢 entsprechend von 0 bis 𝐾), während 𝑦 wegen Gleichung 121 genau 𝑛-mal die reelle Viertelperiode des elliptischen Sinus durchläuft und dadurch (𝑛−1)/2 Nullstellen erzeugt.⁴⁶
2. Auf Wegabschnitt ⃝ 2 läuft 𝑥 von 1 bis 1/𝑘 (siehe auch Tabelle 5). Da die imaginären (Halb-) Perioden von 𝑥 und 𝑦 nach Formel 122 aber gleich sind, bewegt sich 𝑦 äquivalent von 1 bis 1/𝜆.
3. Auf Abschnitt ⃝ 3 des Weges von 𝑢 herrschen ähnliche Verhältnis wie auf dem Ersten, nur daß 𝑦 hier invertiert ist und so wegen Formel 121 genau (𝑛− 1)/2 Pole generiert.

4.8.3 Rationale Lösungsfunktion

Aus den wichtigsten Eigenschaften der Differentialgleichung 70 sowie der Transformationsfunktion, welche in Abschnitt 4.5 erarbeitet wurden, hat schon C.G.J. JACOBI in [10] die folgende spezielle Form der rationalen Transformationsfunktion geschlußfolgert (vgl. auch [7, § 229], [2, § 40]).

(125)

Sie gewährleistet insbesondere, daß

• 𝑦 = 𝑓(𝑥; 𝑘) eine rationale, ungerade Polynomfunktion der Form 𝑈(𝑥)/𝑉(𝑥) ist;
• das Verhalten für reziproke Argumente der Art 1/𝑘𝑥 konform zu Gleichung 81 erfüllt werden kann;
• sowie die speziellen Werte 𝑓(0; 𝑘) = 0 und 𝑓(1; 𝑘) = (−1)^(𝑛−1)/2 realisierbar sind.⁴⁷

4.8.4 Nullstellen (Koeffizienten)

Offen ist unter anderem die Bestimmung der Koeffizienten 𝑎_𝑖, welche sowohl zur Berechnung von 𝑀 als auch 𝜆 benötigt werden. Dazu muß man sich über die Lage und Anzahl der Nullstellen in Gleichung 125 klar werden.

1. Die durch Gleichung 125 repräsentierte Funktion hat 𝑛 Nullstellen, wobei (𝑛−1)/2 davon letztlich die Koeffizienten 𝑎_𝜈 erzeugen.
2. In der gleichwertigen (elliptischen) Parameterdarstellung 77, also in 𝑦 = sn(𝑢/𝑀; 𝜆), müssen diese Nullstellen ebenfalls enthalten sein.

Die Koeffizienten 𝑎_𝜈 der rationalen Transformationsgleichung 125 sind nun folgendermaßen bestimmt

(126)

Beweis. Kennt man die Nullstellen 𝑥◦𝜈 von Gleichung 125, dann kennt man auch die Koeffizienten 𝑎_𝜈 darin.⁴⁸

Die reellen Nullstellen, die alle im Bereich < 1 bzw. < 𝐾 liegen, ergeben sich aus der elliptischen Parameterdarstellung für 𝑦

sowie der für 𝑥 in Verbindung mit den Periodenbeziehungen.

□

4.8.5 Polstellen

Die 𝑛− 1 reellen Pole ermitteln sich nun recht einfach, wenn man in Gleichung 125 die Produktterme des Nenners Null setzt.

Zum gleichen Ergebnis gelangt man, wenn die elliptische Darstellung mittels Gleichung 76 und 77 als Ausgangspunkt genommen wird. Die Pole liegen dann offensichtlich auf dem Wegabschnitt ⃝ 3 laut Abbildung 14 bzw. Tabelle 5, und zwar bei 𝑢✕𝜈 = 𝐾 + j𝐾′+𝜈𝐾/𝑛.

4.8.6 Extremwerte

Die lokalen Extremwerte, deutlich sichtbar auch in Abbildung 15, liegen bei

Beweis. Die Bestimmung der Extremwerte kann (wie üblich) mit Hilfe der ersten Ableitung von 𝑦 = 𝑓(𝑥; 𝑘) erfolgen. Bedenkt man aber, daß 𝑦 = 𝑓(𝑥; 𝑘) ja die Lösung der Differentialgleichung 69 ist, dann kann man mit Blick auf Formel 71 sofort zur Bestimmung der Nullstellen von d𝑦/d𝑥 übergehen.

Die Kombination der Nullstellen von cn(𝑢/𝑀; 𝜆) und dn(𝑢/𝑀; 𝜆) führt nach Tabelle 1 für 𝑢 zu den Extremstellen

Berücksichtigt man die Ausprägungen des elliptischen Sinus’ für spezielle Argumente nach Tabelle 2, dann kann der Beweis abgeschlossen werden.

□

4.8.7 Beziehungen für die elliptischen Funktionen

Transformationsbeziehung für sn Die Transformationsbeziehung bei Verwendung des elliptischen Sinus’ ist direkt in Gleichung 125 enthalten, wenn man 𝑥 und 𝑦 entsprechend der Beziehungen 76 und 77 ersetzt.

(129)

Aus der letzten Darstellung der Transformationsbeziehung läßt sich auch die Linearfaktorzerlegung mit Hilfe der Pol- und Nullstellen gewinnen.

Weitere interessante Darstellungen der Transformationsbeziehung 129 ergeben sich bei Vorwegnahme von Gleichung 138

sowie Multiplikationsformel 47.

Transformationsbeziehung für cn Die Beziehungen für cn und dn können z. B. abgeleitet werden, indem man die Pole und Nullstellen der (ebenfalls) rationalen Polynome cn2(𝑢/𝑀; 𝜆) = 1 −𝑦² und dn2(𝑢/𝑀; 𝜆) = 1 −𝜆²𝑦² ermittelt. Beide Funktionen haben die gleichen Pole, wie der elliptische Sinus 𝑦 = sn(𝑢/𝑀; 𝜆) = 𝑈(𝑥)/𝑉(𝑥) für diesen Fall.

Zur Bestimmung der Linearfaktoren des Zählers wird zuerst der elliptische Cosinus cn(𝑢/𝑀; 𝜆) betrachtet, dessen Nullstellen bei (2𝜈 + 1)𝑀Λ = (2𝜈 + 1)𝐾/𝑛 mit 𝜈 ∈ Z liegen. An diesen Stellen nimmt 𝑥 nach Gleichung 76 die Werte sn an. Da der Grad des Zählerpolynoms genau dem von 𝑦 entspricht läßt sich folgende Linearfaktordarstellung angeben, die abgesehen vom Vorfaktor 𝐴 eindeutig bestimmt ist.

Wegen der Symmetrie sn(𝐾 −𝑢; 𝑘) = sn(𝐾 +𝑢; 𝑘) und der Spiegelungsbeziehung sn(2𝐾 −𝑢; 𝑘) = −sn(2𝐾 +𝑢; 𝑘) kann man den Zähler vereinfachen.

Aus dem schon bekannten Funktionswert 𝑦 = 𝑓(0; 𝑘) = 0 entsprechend Abschnitt 4.5, Formel 82 kann man abschließend den Vorfaktor 𝐴 ermitteln

und damit die Transformationsbeziehung für cn angeben.

(130)

Transformationsbeziehung für dn Für dn kann man in gleicher Art und Weise verfahren, also beginnend mit der Bestimmung der Nullstellen. Wegen dn(𝑣+ j𝐾′; 𝑘) = −jcs(𝑣; 𝑘) nach Tabelle 3 liegen die Nullstellen (bezüglich 𝑢) bei (2𝜈 + 1)𝑀Λ+ j𝑀Λ′ = (2𝜈 + 1)𝐾/𝑛 + j𝐾′ mit 𝜈 ∈ Z. Da aber (vgl. ebenfalls Tabelle 3) für sn die Beziehung sn(𝑣+ j𝐾′; 𝑘) = 𝑘⁻¹ns(𝑣; 𝑘) gilt, nimmt 𝑥 an den Nullstellen die Werte 𝑘⁻¹ ns an. Nun ist man (wie beim elliptischen Cosinus auch) in der Lage eine entsprechende Linearfaktordarstellung anzugeben.

Aus dem Funktionswert 𝑦 = 0 an der Stelle 𝑥 = 0 kann man wieder den Vorfaktor bestimmen.

Einsetzen und Ausmultiplizieren des Zählers liefert das Ergebnis

(132)

4.8.8 Der Multiplikator 𝑀

Mit dem Funktionswert 𝑦 = (−1)^(𝑛−1)/2 an der Stelle 𝑥 = 1 kann man den Multiplikator 𝑀 in Gleichung 125 recht einfach bestimmen (vgl. auch allgemeine Aussagen in Abschnitt 4.5, Formel 82).

Mit der Formel für die Koeffizienten 𝑎_𝜈 ergeben sich neue Darstellungsmöglichkeiten sowohl für 𝑀 als auch 𝜆. Dazu soll mit Hilfe der Verschiebungsrelation sn(𝐾 −𝑢; 𝑘) = cd(𝑢; 𝑘) nach 3 zuerst der folgende (mehrfach auftretende) Term vereinfacht werden.

Jetzt kann ausgehend von Gleichung 133 der Multiplikator 𝑀 konkretisiert werden.

(135)

4.8.9 Das Modul 𝜆

Aus der Eigenschaft der Unveränderlichkeit von Differentialgleichung 69 für 𝑥 := 1/𝑘𝑥 und 𝑦 := 1/𝜆𝑦 nach Formel 81 kann man das Modul 𝜆 ermitteln.

(136)

Beweis. Dazu geht man wieder von Gleichung 125 aus und nimmt darin die entsprechenden Substitutionen vor.

Da auch hier die Bedingung 𝑦 = 𝑓(1; 𝑘) = (−1)^(𝑛−1)/2 erfüllt sein soll (vgl. spezielle Werte nach Formel 82), kann man, wenn Gleichung 133 hinzugenommen wird, schreiben

Setzt man nun die Darstellung für 𝑀 nach Formel 135 in Gleichung 137 ein, dann erhält man recht schnell eine Darstellung für 𝜆, die nur noch von den Koeffizienten 𝑎_𝜈 abhängt. Dazu werden Zähler und Nenner außerdem mit mit 𝑘²𝑎_𝜈² multipliziert und dann mittels 𝑘 _{𝜈=2,4,6,…}^𝑛−1𝑘² = 𝑘^𝑛 weiter vereinfacht.

□

Wie auch in [10, § 23] dargestellt, führt (unter Zuhilfenahme von Formel 134) Einsetzen der Koeffizientenbeziehung 126 zu der folgenden bekannten Form für 𝜆:

(138)

4.8.10 Das komplementäre Modul 𝜆′

Die Beziehung zwischen den komplementären Modulen kann direkt aus Gleichung 132 abgelesen werden, wenn man dort den speziellen Wert 𝑢 = 𝐾 (also dn(𝑛Λ; 𝜆 ) = 𝜆′) einsetzt.

Mit dn(𝐾 −𝑢; 𝑘) = 𝑘′nd(𝑢; 𝑘) kann man diese Relation bei entsprechender Umindizierung sogar noch weiter vereinfachen.

4.9 Erste elliptische Haupttransformation, n gerade

4.9.1 Funktionsverlauf

Für gerades 𝛾 = 𝑛 muß die Integrationskonstante 𝐶 aus Abschnitt 4.5 die reelle Viertelperiode 𝐶 = Ω/2 = 𝑀Λ annehmen (vgl. auch Tabelle 6),

(139)

damit 𝑦 = 𝑓(𝑥; 𝑘) eine gerade Funktion und außerdem auf Wegabschnitt ⃝ 2 in Abbildung 8a reell ist. Der zugeordnete Verlauf des Parameters 𝑢 (inklusive der positiven Nullstellen und Pole) ist dazu nocheinmal anschaulich in Abbildung 16 illustriert.

Der Funktionsverlauf von 𝑦 = 𝑓(𝑥; 𝑘) entspricht prinzipiell dem für ungerade 𝑛, nur der Funktionswert an der Stelle 𝑥 = 0 ist wegen der Verschiebung entlang der reellen Achse 𝑦 = 1 (siehe Abbildung 17).

4.9.2 Rationale Lösungsfunktion

Aus den wichtigsten Eigenschaften der Differentialgleichung 70 sowie der Transformationsfunktion, welche in Abschnitt 4.5 erarbeitet wurden, kann man wiederum auf die Form der (diesmal geraden) rationalen Transformationsfunktion schließen [2, Tab. XXII].

(140)

Sie erfüllt unter anderem auch die speziellen Werte 𝑓(0; 𝑘) = 1 und 𝑓(1; 𝑘) = (−1)^𝑛/2. Aus dem Funktionswert 𝑓(0; 𝑘) = 1 ergibt sich die noch erwähnenswerte Beziehung:⁴⁹

4.9.3 Nullstellen (Koeffizienten), Pole und Extremwerte

Wie schon Abbildung 16 anschaulich zeigt, ist die Lage der Pole und Nullstellen (gegenüber ungeradem Grad 𝑛) entsprechend der Integrationskonstante 𝐶 um Ω/2 = 𝑀Λ, also für 𝑢 um 𝐾/𝑛 verschoben (vgl. Wegabschnitte ⃝ 1 und ⃝ 3).

Gleiches gilt auch für die Extremwerte

wobei einer der Werte für 𝜈 = 0 bei 𝑥 → ∞ zu liegen kommt.

4.9.4 Beziehungen für die elliptischen Funktionen

Transformationsbeziehung für sn Die Transformationsbeziehung für den elliptischen Sinus ist wieder direkt in Gleichung 140 enthalten, wenn man 𝑥 und 𝑦 durch die entsprechenden elliptischen Funktionen ersetzt.

(143)

Eine weitere interessante Darstellung der Transformationsbeziehung 129 ergibt sich auch hier mit Hilfe von Multiplikationsformel 47.

Transformationsbeziehung für cn Ähnlich wie für den Fall eines ungeraden 𝑛 (vgl. Abschnitt 4.8.7) kann man auch hier vorgehen und erhält in Folge

(144)

Beweis. Auch diesmal kann man die Gleichung für cn durch Betrachtung der Pole und Nullstellen herleiten (vgl. Abschnitt 4.8.7). Dazu geht man wieder von einem Ansatz aus, in welchem eigentlich nur ein Vorfaktor zu bestimmen ist.

Wegen der Symmetrie des elliptischen Sinus um 𝐾, d. h. sn(𝐾 −𝑢; 𝑘) = sn(𝐾 +𝑢; 𝑘) sowie der Spiegelungsbeziehung sn(2𝐾 −𝑢; 𝑘) = −sn(2𝐾 +𝑢; 𝑘) kann vorher noch das Produkt im Zähler reduziert werden. Löst man dabei außerdem die Faktoren für 𝜇 = 0,𝑛, 2𝑛 und 3𝑛 heraus, so ergibt sich

Um den Vorfaktor 𝐴 nun zu bestimmen, kann man z. B. den Funktionswert für 𝑥 → ∞ heranziehen, welcher schon zu 𝑦 = 1/𝜆 ermittelt wurde.

Einsetzen des gerade ermittelten Vorfaktors führt zu einer ersten geschlossen Lösung

welche allerdings nicht gerade übersichtlich ist. Mit Vorgriff auf die Berechnungsformeln für 𝜆 und 𝑀 (Gleichungen 146 und 147) und deren Beziehung zueinander

ist man in der Lage, eine etwas kürzere Form anzugeben.

□

Transformationsbeziehung für dn Die entsprechende Beziehung für dn lautet:

(145)

Beweis. Auch hier geht man am besten wieder von den Nullstellen aus, welche entsprechend der Definition für die elliptische Delta-Amplitude dort liegen müssen, wo sn(𝑢/𝑀 +Λ; 𝜆)den Wert 1/𝜆 annimmt. Genau diese Stellen haben wir aber schon als Extremwerte des Funktionsverlaufes dieser Transformation erkannt. Sie liegen bei 𝑥_𝐸 = ±𝑘⁻¹ns(𝜇𝐾/𝑛; 𝑘)mit 𝜇 = 0,±2,±4,…, was folgenden Ansatz für eine Linearfaktordarstellung rechtfertigt

Wieder berücksichtigen wir, daß sn(𝑢; 𝑘) eine ungerade Funktion mit der Halbperiode 2𝐾 ist und extrahieren außerdem den speziellen Wert ns(𝜇𝐾/𝑛; 𝑘) = ±1für die Indizes 𝜇 = 𝑛, 3𝑛.

Der Vorfaktor kann z. B. durch Einsetzen des Funktionswertes an der Stelle 𝑢 = 0, d. h. 𝑦 = 𝑓(0; 𝑘) = 1 bestimmt werden.

Mit diesem Ausdruck für 𝐵 kann man nun die Transformationsbeziehung für dn(𝑢/𝑀 +Λ; 𝜆) konkretisieren.

□

4.9.5 Das Modul 𝜆

Das Modul 𝜆 kann auf den verschiedensten Wegen bestimmt werden, z. B. auch wieder aus der Eigenschaft der Invarianz von Differentialgleichung 69 für 𝑥 := 1/𝑘𝑥 und 𝑦 := 1/𝜆𝑦 nach Formel 81.

(146)

Beweis. An dieser Stelle soll zur Abwechslung ein anderer, ebenfalls sehr einfacher Weg, beschritten werden. Dazu evaluiert man Transformationsbeziehung 140 am Extremwert 𝑥_𝐸 → ∞, wo bekanntlich 𝑦_𝐸 = 1/𝜆 gelten muß.

□

4.9.6 Der Multiplikator 𝑀

Der Multiplikator 𝑀 hat im Fall eines geraden 𝑛 den Wert

(147)

Beweis. Der Multiplikator 𝑀 kann diesmal nicht durch einfaches Einsetzen spezieller Werte ermittelt werden, da er in der rationalen Form 140 nicht auftaucht. Statt dessen wird hier die erste Ableitung der elliptischen als auch der rationalen Transformationsbeziehung herangezogen und mit deren Hilfe 𝑀 bestimmt. Zuerst wenden wir uns deshalb dem Ausgangsproblem der Transformationstheorie, nämlich Differentialgleichung 71 zu. Um einen relativ einfachen Lösungsweg zu beschreiten, konzentrieren wir uns dabei auf die Nullstellen 𝑥◦𝑚 bzw. 𝑢◦𝑚 mit 𝑢◦𝑚 = 𝑚𝐾/𝑛 = 𝑚𝑀Λ (𝑚 ungerade).

Aus dieser Gleichung kann man, wenn 𝑓′ (𝑥◦𝑚 ; 𝑘) bekannt ist, sofort den Parameter 𝑀 ermitteln.

(148)

Die erste Ableitung der rationalen Transformationsbeziehung 140 kann durch logarithmische Differentiation gewonnen werden. Dazu seien vorab noch die folgenden Kurzformen vereinbart und ihre Ableitungen gebildet.

Es folgt die eigentliche Differentiation von

zu

Setzt man jetzt die Nullstelle 𝑥◦𝑚 ein, dann verschwindet 𝑝_𝑚(𝑥◦𝑚) und demzufolge (eigentlich) das ganze Produkt  _{𝜈=1,3,5,…}^𝑛−1𝑝_𝜈(𝑥)/𝑞_𝜈(𝑥). Da in diesem Fall aber der Summenterm mit 𝜇 = 𝑚 eine behebbare Unbestimmtheit aufweist (Kürzen von 𝑝_𝑚(𝑥) im Produkt mit 𝑝_𝜇(𝑥) im Nenner der Summe), verschwindet der Summenausdruck. Dabei gilt es 𝑝_𝑚′(𝑥◦𝑚) = −2/𝑥◦𝑚 zu berücksichtigen.

Durch Hinzunahme von Multiplikationsformel 47, kann man (ähnlich wie bei der Transformationsbeziehung) weiter vereinfachen zu:

Die Indizes 𝑚−𝜈 bzw. 𝑚+𝜈 durchlaufen, wenn man sie zusammenfaßt, alle geraden Werte von 𝑚 −(𝑛 − 1) bis 𝑚 +(𝑛 − 1), ausgenommen die Werte 0 und 2𝑚, für die 𝜈 = 𝑚 gilt. Mit etwas Vorstellungskraft für den Verlauf des elliptischen Sinus und den daraus generierten Nullstellen und Extremwerten ist offensichtlich, daß (abgesehen von den zwei genannten) alle Werte 𝜇𝐾/𝑛 (für gerades 𝜇) einer Halbperiode des elliptischen Sinus’ durchlaufen werden. Der Produktterm im Zähler ist demzufolge auch darstellbar als

Der Ausdruck im Nenner dieser Gleichung kann durch Anwendung der Verdoppelungsformel 51 so angepaßt werden

daß die Ableitung an einer Nullstelle nun geschlossen dargestellt werden kann.

(149)

Einsetzen in Berechnungsformel 148 liefert (endlich) den Multiplikator 𝑀.

□

4.9.7 Das komplementäre Modul 𝑘′

Die Formel für das komplementäre Modul 𝑘′ kann durch Evaluation der Beziehung 145 für dn an der Stelle 𝑦 = 𝑓(1; 𝑘) = (−1)^𝑛/2 ermittelt werden.

4.10 Zweite elliptische Haupttransformation, n ungerade

4.10.1 Periodenbeziehungen

Typisch für die 2. elliptische Transformation ist, daß die imaginäre Periode 2Ω′ = 2𝑀Λ′ von 𝑦 = 𝑔(𝑢/𝑀; 𝜆) genau 𝑛-mal die imaginäre Periode 2𝜔′ = 2𝐾′ von 𝑥 = ℎ(𝑢; 𝑘) teilt, die reellen Perioden aber gleich sind (𝑛-te Teilung der imaginären Periode, vgl. Fall 𝛾 = 1, 𝛿 = 𝑛 in Abschnitt 4.5). Es handelt sich bei der Beziehung 𝜆 = 𝜌(𝑘) also ebenfalls um eine Modulgleichung vom Grad 𝑛 mit dem zugehörigen Periodenverhältnis

(150)

Allerdings kommt wegen 𝛾 = 1 nur der Wert 𝐶 = 0 für die Integrationskonstante (vgl. Abschnitt 4.5) in Frage, damit reelle Funktionswerte auf Wegabschnitt ⃝ 2 in Abbildung 8a bzw. nach Tabelle 5 entstehen.

4.10.2 Funktionsverlauf

Der Funktionsverlauf 𝑦 = 𝑓(𝑥; 𝑘) kann mit Hilfe von Abbildung 18 aus dem Verlauf des Parameters 𝑢 entsprechend der, in Abbildung 8a definierten, Wegabschnitte erklärt werden. Auf Abschnitt ⃝ 1 verlaufen 𝑥 und 𝑦 ausgehend vom Ursprung im Wesen gleich. Da im Intervall 𝐾 ≤ 𝑢 ≤ 𝐾 + j𝐾′, d. h. auf Teilstück ⃝ 2, die imaginäre Halbperiode 𝑀Λ′ von 𝑦 = 𝑔(𝑢/𝑀; 𝜆) 𝑛-mal durchlaufen wird, existieren dort keine reellen Nullstellen oder Pole. Statt dessen alterniert 𝑦 = nd(Im(𝑢)/𝑀; 𝜆′) auf dem Weg 1 ≤ 𝑥 ≤ 1/𝑘 genau 𝑛 − 1 mal zwischen 1 und 1/𝜆. Auf dem letzten Teilabschnitt ⃝ 3 strebt 𝑦 dann kontinuierlich gegen ∞.

Der resultierende Funktionsverlauf 𝑦 = 𝑓(𝑥; 𝑘)ist in Abbildung 19 dargestellt.

4.10.3 Rationale Lösungsfunktion

Die Form der rationalen Lösungsfunktion 𝑦 = 𝑓(𝑥; 𝑘) für die zweite elliptische Haupttransformation bei ungeradem Grad 𝑛 kann ausgehend von Abbildung 18 sowie den folgenden Überlegungen abgeleitet werden.

1. Es existieren eine einfache Nullstelle⁵⁰ bei 𝑢 = 0 sowie 𝑛− 1 weitere bei jeweils 𝑢◦𝜇 = ±j 𝜇𝑀Λ′ = ±j 𝜇𝐾′/𝑛, 𝜇 gerade.
2. Die 𝑛− 1 Pole liegen bei 𝑢✕𝜈 = ±j 𝜈𝑀Λ′ = ±j 𝜈𝐾′/𝑛, 𝜈 ungerade.
3. Für 𝑢 → 2𝐾 + j𝐾′ geht 𝑦 gegen Unendlich, was sich im Grad von Zähler- und Nennerpolynom widerspiegelt (𝑛 = 𝑛′+ 1, vgl. Abschnitt 4.3).
4. Sowohl 𝑦 = 𝑔(𝑢; 𝑘)als auch 𝑥 = ℎ(𝑢; 𝑘) sind ungerade Funktionen, deshalb 𝑦 = 𝑓(𝑥; 𝑘) ebenfalls.

Aus diesen Gründen kann man als rationale Transformationsfunktion

angeben.

Beweis. Die vorangegangenen Überlegungen erlauben es, als Ausgangspunkt für die Lösungsfunktion folgende Form anzugeben.

Nimmt man die konkreten Werte der Pole und Nullstellen hinzu

und berücksichtigt das betragsmäßig doppelte Auftreten aller Nullstellen und Pole,⁵¹ dann läßt sich die Ausgangsformel konkretisieren.

□

Eine weitere bekannte Form der Transformationsbeziehung 151 ist:⁵²

(153)

Beweis. Beide Darstellungen sind schnell zu beweisen, wenn man auf jeden Faktor im Zähler bzw. Nenner von Gleichung 151 die Beziehung sc(𝐾′−𝑢; 𝑘′ ) = 𝑘⁻¹cs(𝑢; 𝑘′ ) nach [1, S. 16.8] anwendet und danach geeignet umindiziert. Beispielhaft wird hier die beschriebene Umformung für den Nenner durchgeführt, wobei der neue Index 𝜇 = 𝑛−𝜈 eingeführt wird.

□

4.10.4 Nullstellen (Koeffizienten)

Die Nullstellen waren der Ausgangspunkt bei der Ermittlung der Koeffizienten von Nenner- und Zählerpolynom in Transformationsbeziehung 151 bzw.  125. Sie liegen in diesem Fall nicht direkt auf den schon desöfteren betrachteten Wegabschnitten ⃝ 1 - ⃝ 3 von 𝑢, sondern auf imaginären Punkten innerhalb des Periodenrechtecks (vgl. auch Abbildung 18 sowie imaginäre Transformation nach Gleichung 57, Abschnitt 57).

4.10.5 Polstellen

Die 𝑛 − 1 Pole wurden (wie die Nullstellen auch) schon bei der Herleitung der rationalen Transformationsbeziehung bestimmt. Sie sind jedoch auch leicht aus Gleichung 151 abzulesen.⁵³

4.10.6 Extremwerte

Die lokalen Extremwerte, welche auch in Abbildung 19 zu erkennen sind, liegen bei

4.10.7 Beziehung für sn

Einsetzen der Koeffizientenformel 152 in die rationale Transformationsbeziehung 153 führt zu den elliptischen Darstellungen

Die Formeln für den elliptischen Cosinus und die Delta-Amplitude kann man z. B.  [2, Tab. XXIII] entnehmen.

4.10.8 Der Multiplikator 𝑀

Der Multiplikator 𝑀 kann durch Evaluation der Transformationsgleichung 151 oder 153 an der Stelle 𝑦 = 𝑓(1; 𝑘) = 1 gewonnen werden.

(154)

Einsetzen der Koeffizientenformel 152 führt zu einer weiteren, bekannten Darstellung des Multiplikators 𝑀.

(155)

Beweis. Der Beweis ist nicht schwierig, wenn man sn ²𝑢+ cn ²𝑢 = 1 berücksichtigt.

□

4.10.9 Das Modul 𝜆′

Das Modul 𝜆 kann auf gleichem Wege wie der Multiplikator 𝑀 bestimmt werden, nur wird dazu der schon bekannte Funktionswert 𝑦 = 𝑓(1/𝑘; 𝑘) = 1/𝜆 herangezogen, vgl.  18. Evaluation von Transformationsbeziehung 151 an dieser Stelle ergibt sofort

Wieder sind die Beziehungen sc(𝐾′−𝑢; 𝑘′ ) = 𝑘⁻¹cs(𝑢; 𝑘′ ) sowie sn ²𝑢+ cn ²𝑢 = 1 gefolgt von Umindizierung im Zähler und Nenner günstig anwendbar, um ausführliche Darstellungen zu entwickeln.

Ausgehend von der Transformationsfunktion nach Gleichung 153 kann eine weitere bekannte Formel für 𝜆 ermittelt werden. Sie bezieht Gleichung 154 für den Multiplikator 𝑀 ein und stützt sich (genauso wie bei der ersten elliptischen Haupttransformation, vgl.  136) auf die vierte Potenz der Koeffizienten 𝑎_𝜇.

4.11 Zweite elliptische Haupttransformation, n gerade

Da hier genau die gleichen Bedingungen wie für den Fall ungerader Ordnung 𝑛 gelten (vgl. Abbildung 18), sind die meisten Beziehungen ähnlich. Einziger Unterschied besteht generell darin, daß der Grad von Zähler- und Nennerpolynom entsprechend angepaßt werden muß.

(157)

Der Grad des Nennerpolynoms ist 𝑛, der des Zählerpolynoms 𝑛− 1, was dazu führt, daß sich die Funktion für 𝑥 → ∞ der Nullinie nähert. Dieses Verhalten ist auch im zugehörigen Funktionsverlauf nach Abbildung 20 gut zu erkennen.

Die Koeffizienten bestimmen sich genauso wie für den Fall ungerader Ordnung 𝑛, also wie in Formel 152, zu

Gleiches gilt für den Multiplikator 𝑀, für den ebenfalls nur der Grad von Zähler und Nenner in Gleichung 155 zu korrigieren ist.

Anders beim Modul 𝜆, welches (im Gegensatz zum Fall des ungeraden 𝑛) hier nicht durch Evaluation der rationalen Transformationsbeziehung an der Stelle 𝑥 = 1 ermittelt werden kann. Wegen der jetzt geraden Ordnung 𝑛 ist der Funktionswert dort nämlich 1 ist und nicht 1/𝜆 (vgl. Abbildung 18). Der Wert 1/𝜆 wird hingegen an den Extremstellen, d. h. bei 𝑢_𝐸 = (2𝜈 + 1)𝐾′/𝑛, 𝜈 ∈ Z angenommen. Es ist also naheliegend einfach einen dieser Werte (𝑥_𝐸 ,𝑦_𝐸 ) in Beziehung 157 einzusetzen.