6 SOLOTAREff’s drittes Problem

E. I. SOLOTAREff hat sich in [17] mit mehreren praktischen Problemen der gleichmäßigen bzw. TSCHEBYSCHEff-Approximation auseinandergesetzt, von denen insbesondere das dritte Problem hier von Interesse sei.62 Es widmet sich der Suche nach einer gebrochen rationalen Funktion 𝑓(𝑥) = 𝑈(𝑥)/𝑉(𝑥), welche im Intervall |𝑥| ≤ √𝑘- am wenigsten von Null abweicht (mit 0 < 𝑘 < 1), dagegen für |𝑥| ≥ 1/√ 𝑘- am stärksten von Null verschieden ist. Dabei sollen 𝑈(𝑥) und 𝑉(𝑥) algebraische Polynome der Form

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sein, deren Koeffizienten 𝑐𝜐und 𝑑𝜇 bzw. Nullstellen der Linearfaktordarstellung entsprechend der Zielvorgabe (für die Fehlerfunktion, vgl. Toleranzschema in Abbildung 21)

⎫ |m𝑥a| ≤x√𝑘𝑓(𝑥) ||||⎬ 1 ⇒ Min. max1-𝑓(𝑥)-||| |𝑥| ≥ √𝑘 |⎭
(177)

bestimmt werden.

PIC

Abbildung 21: Toleranzschema für |𝑓(𝑥)|

SOLOTAREff hat nun aus Symmetrieeigenschaften sowie der Bedingung

(1 ) 𝑓(𝑥)𝑓 -- = 1 𝑥

die folgende Form von 𝑓(𝑥) geschlußfolgert [18]:

𝑏2𝜐 − 𝑥2 𝑓(𝑥)∼ ----2-2- 1− 𝑏𝜐𝑥
(178)

Die Lösung dieser Approximationsaufgabe bzw. der nach 177 beruht auf JACOBI’schen elliptischen Funktionen in Verbindung mit der ersten elliptischen Haupttransformation. Um den speziellen Intervallgrenzen in SOLOTAREff’s drittem Problem Rechnung zu tragen, müssen die Achsen allerdings noch passend skaliert werden. Dazu setzt man in den rationalen Transformationsbeziehungen 140 und 125

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und erhält

2 ꎧ||√︃ 𝜆- -𝑥 𝑛 −1 -1−𝑘𝑥𝑎2𝜈- |||| 𝑘 ·𝑀 1−𝑘𝑎2𝜈𝑥2 (𝑛 ungerade) 𝑓 (𝑥; 𝑘)= 𝜈=2,4,6,...𝑥2- ||||√ 𝜆- 𝑛 −1 -1−𝑘𝑎2𝜈- (𝑛 gerade) |⎩ 𝜈=1,3,5,...1−𝑘𝑎2𝜈𝑥2

bzw. nach den Parameterdarstellungen 124 und 139 der ersten elliptischen Haupttransformation:

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Die Verschiebung der ehemaligen Extremwerte 𝑦 = ±1 und 𝑦 = ±𝜆−1 hin zu ±𝜆1/2 und ±𝜆−1/2 entspricht dem Toleranzschema nach Abbildung 21, wenn man die Verläufe der ersten elliptischen Haupttransformation in den zugehörigen Abbildungen 15 und 17 betrachtet.

Passt man auch die Berechnungsformeln 138 und 146 für 𝜆 an, dann ist auch 𝜀 = √ -- 𝜆 leicht zu ermitteln.

ꎧ||√ -- 𝑛 −2 2 ( 𝐾- ) ||| 𝑘𝜈=1,3,5,...𝑘sn 𝜈 𝑛; 𝑘 (𝑛 ungerade) 𝜀 = | 𝑛 −1 ( 𝐾 ) ||| 𝑘sn2 𝜈 𝑛; 𝑘 (𝑛 gerade) ⎩𝜈=1,3,5,...

Berücksichtigt man für den Fall eines ungeraden 𝑛 die Gleichung 136 und für gerades 𝑛 entsprechend 146 in der Form

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dann ergeben sich noch die folgenden Vereinfachungen:

𝑛−1 ꎧ|||(−1)𝑛−21𝑥 𝑘𝑎2𝜈−𝑥22- (𝑛 ungerade) 𝑓(𝑥; 𝑘)= || 𝜈=2,4,6,...1−𝑘𝑎𝜈𝑥2 || 𝑛 𝑛 −1 -𝑘𝑎2𝜈−𝑥2 ||⎩(−1)2 𝜈=1,3,5,...1−𝑘𝑎2𝜈𝑥2 (𝑛 gerade)
(179)

Bezüglich des SOLOTAREff’schen Ausgangspunktes nach Beziehung 178 kann man nun die Unbestimmten 𝑏𝜈 angeben.

√ -- 𝑏𝜐 = 𝑘𝑎 𝜈

Wegen der Skalierung der x-Achse verschieben sich natürlich auch alle Nullstellen und Pole nach den Formeln 128 und 127 (𝑛 ungerade) sowie 141 und 142 (𝑛 gerade).

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Die Berechnungsformeln 126 und 141 für die Koeffizienten 𝑎𝜈 bleiben unverändert bei:

𝑎𝜈 = sn (𝜈𝐾; 𝑘) . 𝑛

Sie repräsentieren letztlich das Ergebnis der Bestapproximation.

Beweis. Der Beweis der Bestapproximation beruht auf TSCHEBYSCHEff’s Alternantensatz [14, Satz 23], welcher angewandt auf die Ausgangspolynome 176 in kurzer Form lautet [14, § 6]:

Die Funktion 𝑓(𝑥; 𝑘) = 𝑈(𝑥)/𝑉(𝑥) stellt dann eine Minimallösung dar, wenn die absolute Fehlerfunktion

√-- ꎧ||||𝑓(𝑥; 𝑘) (|𝑥|≤ 𝑘) 𝜀(𝑥)= 1 1 |||------- (|𝑥|≥ √--) ⎩𝑓 (𝑥; 𝑘) 𝑘

im Approximationsintervall genau 𝑚+𝑛+3 Extremalpunkte hat,63 an denen sie alternierend den Wert ±𝜀 annimmt. Berücksichtigt man den Polynomgrad in Zähler und Nenner der Lösungsformel 179, dann gilt:

ꎧ|||𝑛 − 1 (𝑛 ungerade) 𝑚 = . ||⎩𝑛 (𝑛 gerade)

Betrachtet man nun einfach die Funktionsverläufe der ersten elliptischen Haupttransformation in den Abbildungen 15 und 17, dann ist zu erkennen, daß 𝜀(𝑥) genau 𝑛 + 1 Alternantenpunkte im Intervall 0 ≤ |𝑥| ≤ 𝑘1/2 und dazu nocheinmal 𝑚 + 2 solcher Punkte im Intervall 𝑘−1/2 ≤ |𝑥| ≤ ∞ hat.

Aufgrund ihrer Anzahl sowie des alternierenden Fehlers ±√-- 𝜆 an den Stellen 𝑥 = ±sn(𝜈𝐾/𝑛; 𝑘) ist die TSCHEBYSCHEff’sche Alternantenbedingung erfüllt und die Funktion 𝑓(𝑥; 𝑘) stellt folgerichtig eine Bestapproximation dar. □