2 Tiefpaßfilter

Bei der Annäherung einer Zielfunktion im Frequenzbereich sind im allgemeinen zwei systemtheoretische Größen interessant: die Dämpfung A(𝜔) = −20 log |H(j𝜔)|

sowie der Phasengang B(𝜔) = −∡ H(j𝜔). Fast alle Standard-Tiefpässe beschränken sich dabei auf die gleichmäßige (TSCHEBYSCHEff-) Approximation des Amplitudenganges H(𝜔) = |H(j𝜔)|

, vgl. [14, 15, 43, 45, 10, 26].¹ Dazu wird üblicherweise statt der Amplitudencharakteristik H(𝜔) die charakteristische Funktion D(𝜔) = |D(j𝜔) |

, welche auch Drosselung genannt wird, herangezogen. Als Zusammenhang zwischen beiden Größen gilt bekanntlich:

Es gibt verschiedene Gründe die Drosselung als Zielfunktion zu verwenden (siehe auch [33, 43, 10, 45]):

Für die Verwendung bekannter mathematischer Lösungsfunktionen der gleichmäßigen Approximation (bezeichnet mit 𝑔(𝑥)) macht es sich außerdem günstig, die Drosselung als Produkt von 𝑔(𝑥) mit einer Konstanten 𝜎 zu definieren.

In Tabelle 2.1 sind nun ausgewählte Approximationsintervalle bzw. -punkte sowie die Zusammenhänge mit den soeben eingeführten Größen dargelegt.

Die Definition von Durchlaß- und Sperrbereich beruht auf dem Fakt, daß (fast) alle konventionellen Standard-Filter den idealen Tiefpaß (zumindest stückweise) approximieren. Es wird deshalb für den Durchlaßbereich das Intervall 0 ≤ 𝜔 ≤ 𝜔_𝑔 angenommen,³ für den Sperrbereich 𝜔_𝑠 ≤ 𝜔 < ∞. Man erhält damit ein Tiefpaß-Toleranzschema nach Abbildung 2.1, das außerdem eine maximale (erlaubte) Durchlaß-Dämpfung A _max und eine minimale Sperr-Dämpfung A _min definiert.⁴

Im Zusammenhang mit der Approximationsfunktion soll noch kurz angemerkt sein, daß die Extremstellen der Dämpfung sich auf der Grundlage von

aus den Nullstellen von 𝑔(𝜔) als auch deren Ableitung 𝑔′(𝜔) zusammensetzen.

2.1.2 Bestapproximationen

P. L. TSCHEBYSCHEff hat im 19. Jahrhundert mit dem nach ihm benannten Alternantensatz die grundlegende Bedingung für eine Bestapproximation gefunden [39, 25, 21]. In kurzer Form ist der Inhalt folgender:

In der Filtertheorie ist die (gesuchte) Funktion 𝑔_𝑛 geringster Abweichung meist die Drosselung D(𝜔).⁶ Die zu approximierende Funktion 𝑓(𝑥) kann als Drosselung des (fast) idealen Tiefpaß verstanden werden.

Genau an dieser Stelle unterscheiden sich nun die Standard-Tiefpässe dadurch, daß jeder Typ die Zielfunktion 𝑓(𝜔) in anderen Frequenzbereichen approximiert. Abgesehen davon ist jede dieser Bestapproximationen, welche ja als Zielgröße D(𝜔) verwenden, auch eine in Bezug auf H(𝜔). Der Grund ist in Ausgangsgleichung 2.1 zu finden, welche nur eine direkte Abhängigkeit H(D) und keine weitere von 𝜔 enthält. Aus diesem Grund unterscheiden sich zwar die Fehlerfunktion 𝜀(𝜔) im Wert, nicht aber im alternierenden Verhalten.

Geht man nun von einer Bestapproximation (wie in Abbildung 2.1 getan) aus, dann kann man den Frequenz-Eckwerten 𝜔_𝑔 und 𝜔_𝑠, da es sich um die Randpunkte handelt, die Dämpfungswerte A _min und A _max zuordnen.

Umgekehrt kann man aus vorgegebenen Dämpfungswerten den Skalierungsfaktor 𝜎 bestimmen.

2.2 BUTTERWORTH-Tiefpaß

2.2.1 Amplitudencharakteristik

Der BUTTERWORTH-Tiefpaß 𝑛-ter Ordnung zeichnet sich durch die Amplitudencharakteristik

Da die Kreisfrequenz 𝜔 nur in der höchsten Potenz vorhanden ist, werden solche Systeme auch Potenzfilter genannt und als maximal flach bezeichnet [10] [43].⁷ Abbildung 2.2 zeigt den Amplitudengang nach Formel 2.4 für unterschiedlichen Grad 𝑛.

Mit Hilfe des Parameters 𝜎 kann die maximale Dämpfung im Durchlaßbereich A _max variiert werden (vgl. Abschnitt 2.1.1). Dazu sei von der normierten Grenzfrequenz 𝜔_𝑔 = 1 ausgegangen, bei der

erhalten, d. h. die charakteristischen Größen 𝜔_𝑔, 𝜔_𝑠, A _max und A _min sind nicht unabhängig voneinander. Der über den Grad 𝑛 bestehende Zusammenhang kann durch Gleichsetzen der Beziehungen für 𝜎 ausgedrückt werden.

Aus dieser Äquivalenz kann der minimale Grad eines BUTTERWORTH-Tiefpaß’ ausgehend von den charakteristischen Größen abgeleitet werden (𝜔_𝑔 = 1).

Oft werden Filter in Bezug auf ihre 3dB-Grenzfrequenz 𝜔_𝑔 = 𝜔_3dB, d. h. auf H(1) = 1/ √ --
2

, dimensioniert. Dann gilt 𝜎 = 1/𝜔_3dB^𝑛 und für den Amplitudengang

2.2.2 Polstellen

Die Verteilung der Polstellen eines Filters (in der komplexen Ebene) ist grundsätzlich immer interessant, da sie Aufschlüsse bezüglich der anderen Charakteristiken, wie Amplitudengang, Phasengang, usw. zuläßt. Dazu gehen wir von der komplexen Übertragungsfunktion H(j𝜔), in Verbindung mit der generellen Eigenschaft H ²(𝜔) = H(j𝜔) H(−j𝜔), aus.

An den Polstellen von H(𝑠) H(−𝑠) muß der Nenner in Gleichung 2.8 verschwinden, was bedeutet:

Die komplexen 2𝑛 Wurzeln lassen sich mit Hilfe des Satzes von MOIVRE sofort angeben:⁹

Um realisierbare Systeme zu erhalten ordnet man nun 𝑛 Pole mit negativem Realteil H(𝑠), die anderen H(−𝑠) zu. Man erhält, was sich durch Einsetzen einzelner Werte 𝑘 leicht nachprüfen läßt, folgende Polverteilung für einen BUTTERWORTH-Tiefpaß.

Sind insbesondere Real- oder Imaginärteile von Interesse, dann ist auf Gleichung 2.9 noch die EULER’sche Formel anzuwenden.

Anschaulich liegen alle Pole auf einem Kreis mit Radius 1/ √--
𝑛𝜎

, was deutlich auch in Abbildung 2.3 zu erkennen ist. Außerdem zeigt die Darstellung, daß einerseits keine Pole auf der imaginären Achse liegen und andererseits alle konjugiert komplex auftreten.¹⁰

2.2.3 Polkenngrößen

Allgemein gelten Polkenngrößen als geeignet zur Abschätzung des Systemverhaltens im Frequenzbereich. Dabei sind es vor allem zwei Größen, die entsprechende Bedeutung erlangt haben – die Polfrequenz 𝜔₀ und die Polgüte 𝑄.¹¹ Zur Definition bzw. Bestimmung geht man von der Erkenntnis aus, daß komplexe Pole immer konjugiert auftreten und deshalb in der Linearfaktordarstellung von H(𝑠) paarweise (zur Vermeidung komplexer Größen) zusammengefaßt werden können.

Dieses Polynom zweiten Grades (bezüglich der LAPLACE-Variable 𝑠) kann man auch folgendermaßen schreiben

wodurch Polfrequenz und -güte letztlich definiert werden. Koeffizientenvergleich beider Darstellungen, also

führt sofort zur Definition der Polfrequenz 𝜔₀ als Betragswert der jeweiligen Polstelle 𝑠✕𝜈.

Speziell für einen BUTTERWORTH-Tiefpaß gilt deshalb in Bezug auf die Polfrequenzen:

In der letzten Formel ist erkennbar, daß die einzelnen Polgüten 𝑄_𝜈 für höhere Filterordnung 𝑛 immer größer werden, wobei Pole in der Nähe der j𝜔-Achse die höchsten Güten aufweisen.¹³

2.3 TSCHEBYSCHEff-Tiefpaß

2.3.1 Amplitudencharakteristik

Der erste Typ des TSCHEBYSCHEff-Tiefpaß ist durch direkte Anwendung der TSCHEBYSCHEff-Funktionen erster Art (siehe Anhang ??) für die Drosselung gekennzeichnet [45, 9, 10].

Man kann sich auch leicht an Hand der folgenden Definition für T _𝑛(𝜔) davon überzeugen, daß die Funktion im Intervall |𝜔 |

< 1 eine Bestapproximation der Nullinie (im Sinne von Abschnitt 2.1.2, vgl. auch [21, S. 45] oder [25, § 4]) darstellt, für |𝜔|

> 1 aber gegen ±∞ strebt.

Daß es sich hier wirklich um Polynome in 𝜔 handelt, zeigt die äquivalente Definitionsgleichung ?? für T _𝑛(𝑥) im Anhang ??. Dort sind auch TSCHEBYSCHEff-Polynome bis zum Grad 𝑛 = 5 sowie ihr Funktionsverlauf (in Abbildung ??) gegeben. Wie spezielle Werte des Funktionsverlaufs von T _𝑛(𝑥) sich auf den normierten Amplitudengang nach

auswirken, kann (auch mit Rückblick auf Tabelle 2.1) anschaulich Abbildung 2.4 entnommen werden.

Die Grenzfrequenz ist bei diesem Tiefpaß-Typ immer normiert 𝜔_𝑔 = 1, zumindest soweit man sie als Eckfrequenz entsprechend Tiefpaß-Toleranzfeld in Abbildung 2.1 sieht. Der Amplitudengang hat im Durchlaßbereich eine Welligkeit, welche durch die TSCHEBYSCHEff-Funktion verursacht wird (vgl. Abbildung ??). Sie nimmt an den Extremstellen cos(𝑘𝜋/𝑛) alternierend die Werte ±1 an – dazwischen liegen (notwendigerweise) die Nullstellen bei cos[(𝑘− 1/2)𝜋/𝑛]. Kombiniert man beide Ausdrücke, dann erhält man die Extremstellen des Amplitudengangs.

An diesen Stellen ist H(𝜔) nach Tabelle 2.1 entweder 1 oder (1 +𝜎²)^−1/2 und die Welligkeit 𝜀 deshalb:

Wie schon beim BUTTERWORTH-Tiefpaß besteht ein determinierter Zusammenhang zwischen der Grenz- und Sperrfrequenz sowie der minimalen und maximalen Sperrdämpfung.

Aus diesen Abhängigkeiten kann man durch Gleichsetzen der Ausdrücke für 𝜎 wieder den minimalen Grad des Filters bestimmen.

2.3.2 Polstellen

Um die Verteilung der Polstellen zu bestimmen, gehen wir von der komplexen Übertragungsfunktion H ²(𝜔) = H(j𝜔) H(−j𝜔) aus

Wegen 𝑠 = 𝛼+ j𝜔 müssen wir davon ausgehen, daß arccos(𝑠/j) eine komplexe Größe ist. Um nicht den Überblick zu verlieren substituieren wir 𝑧 = 𝑢+ j𝑣 = Re 𝑧+ j Im 𝑧 = arccos(𝑠/j) und notieren als komplexe Gleichung:

Nimmt man das Additionstheorem cos(𝜑+𝜗) = cos 𝜑 cos 𝜗 − sin 𝜑 sin 𝜗 hinzu, dann sind die Gleichungen

äquivalent und wir können die Nullstellenbedingung in Real- und Imaginärteil separieren.

Der Realteil wird Null, wenn cos(𝑛𝑢) = 0 gilt, was für Argumente 𝑛𝑢✕𝑘 = 𝑘𝜋 − 𝜋/2 bzw. 𝑢✕𝑘 = 𝜋(2𝑘 − 1)/2𝑛 der Fall ist. Einsetzen in die imaginäre Bedingung führt zu

Mit diesen Ergebnissen kehren wir zur Substitution cos 𝑧✕𝑘 = 𝑠✕𝑘/j zurück und wenden (wieder) das komplexe Additionstheorem cos(𝑢+ j𝑣) = cos 𝑢 cosh 𝑣− j sin 𝑢 sinh 𝑣 an.

Einsetzen von 𝑢 und 𝑣 ergibt für die 2𝑛 Polstellen der Funktion H(𝑠) H(−𝑠), getrennt für Real- und Imaginärteil:

Interpretiert man beide Anteile geometrisch, dann ist zu bemerken, daß alle Pole auf einer Ellipse mit den Halbachsen

liegen (siehe auch Abbildung 2.5).¹⁴ Wegen der für Hyperbelfunktionen immer geltenden Äquivalenz cosh ²𝑣− sinh ²𝑣 = 1 besteht zwischen den Halbachsen die Abhängigkeitsbeziehung 𝜔_𝐻² −𝛼_𝐻² = 1.

Abschließend wählen wir die Hälfte der 2𝑛 Pole, nämlich (aus Stabilitätsgründen) die mit negativem Realteil aus, und ordnen sie H(𝑠) zu.¹⁵

Geschlossene Darstellungen für die Polfrequenzen und -güten (abgeleitet aus den allgemeinen Formeln 2.12 und 2.13) nehmen bei diesem Filtertyp schon einige Komplexität an. Deshalb sollte man sich zu deren Bestimmung entweder mit einer Softwareimplementierung oder entsprechenden Tabellen, wie z. B. in [10, Tab. 2.5], behelfen.

2.4 Inverser TSCHEBYSCHEff-Tiefpaß

2.4.1 Amplitudencharakteristik

Der TSCHEBYSCHEff-Tiefpaß vom Typ II ist ebenfalls eine Anwendung der TSCHEBYSCHEff-Funktionen erster Art – diesmal aber so, daß eine Welligkeit im Durchlaßbereich vermieden wird, dafür aber Dämpfungsminima im Sperrbereich hingenommen werden müssen [10, S. 2.2.1.1]. Aus mathematischer Sicht handelt es sich um eine Bestapproximation der “Konstanten” Unendlich für alle Frequenzen größer als die Sperrfrequenz 𝜔_𝑠 (siehe auch Abschnitt 2.1.2). Äquivalent dazu kann man die Forderung formulieren, daß 1/D(𝜔) im Sperrbereich die Nullinie bestmöglich nähern möge.¹⁶ Weil das (Best-) Approximationsintervall der TSCHEBYSCHEff-Funktionen im vorgenannten Sinne aber [−1,+1] ist, muß eine entsprechende Abbildung auf den Sperrbereich erfolgen.¹⁷ Aus diesen logischen Überlegungen heraus kann man die Drosselungsfunktion für den inversen TSCHEBYSCHEff-Tiefpaß ableiten.

Wie D(𝜔) sich auf der Grundlage von Formel 2.1 in einem typischen Dämpfungsverlauf darstellt zeigt Abbildung 2.6. Die maximale Dämpfung im Durchlaßbereich liegt an der normierten Grenzfrequenz 𝜔_𝑔 = 1 und hat den Wert:

Die minimale Dämpfung im Sperrbereich (inklusive 𝜔_𝑠) wird durch die Funktionswerte ±1 an den Extremstellen von T _𝑛(𝑥) bestimmt (vgl. Anhang ??).

Die zugehörigen 𝑥-Werte liegen bei cos(𝑘𝜋/𝑛), also bezüglich T _𝑛(𝜔_𝑠/𝜔) an den Stellen 𝜔_𝑠/cos(𝑘𝜋/𝑛). Die immer dazwischen liegenden Dämpfungsmaxima werden durch die Nullstellen der TSCHEBYSCHEff-Funktion erzeugt und sind deshalb bei 𝜔_𝑠/cos[(𝑘 − 1/2)𝜋/𝑛] lokalisiert. Kombiniert man (wie beim TSCHEBYSCHEff-Tiefpaß vom Typ I) auch hier beide Ausdrücke, so erhält man die Frequenzen 𝜔_𝑘 nach Abbildung 2.6.

2.4.2 Nullstellen

Im Gegensatz zum ersten Typ des TSCHEBYSCHEff-Tiefpaß besitzt H(𝑠) hier Nullstellen, die wegen der Dämpfungsextrema im Sperrbereich sogar auf der j𝜔-Achse liegen müssen. Um sie zu bestimmen bilden wir (wie üblich) zuerst das Betragsquadrat der Übertragungsfunktion H(j𝜔), gehen dann in den LAPLACE-Bildbereich über

Von der Betrachtung der Extremwerte her (vgl. voriger Abschnitt oder Anhang ??) ist schon bekannt, daß die Nullstellen von T _𝑛(𝑥) bei

Für den Fall eines Filters mit ungeradem Grad ist jedoch zu beachten, daß wegen cos(𝜋/2) = 0 die Nullstelle für 𝜈 = (𝑛 + 1)/2 im Unendlichen zum Liegen kommt. Aus diesem Grund kann sie nicht als solche angesehen werden, sondern eher als Hinweis, daß der Grad des Zählerpolynoms von H(𝑠) größer als der des Nennerpolynoms ist.¹⁸

2.4.3 Polstellen

Zur Ermittlung der Pole von H(𝑠) kann man entweder formal die Polstellenbedingung für Gleichung 2.22 formulieren oder (was dasselbe ist) den höheren Zusammenhang zwischen Drosselung und Übertragungsfunktion nach Formel 2.1 berücksichtigen. Wählt man letzteren Ansatz, dann ist sofort erkennbar, daß alle Pole durch die Beziehung D(𝑠/j) = ±j charakterisiert sind. Nehmen wir also die Drosselungsfunktion dieses Filtertyps nach Gleichung 2.21 und formulieren als Bedingung:

Wegen der Ähnlichkeit mit Gleichung 2.18 des Typ I Tiefpaß substituieren wir 𝑠′ = −𝜔_𝑠/𝑠 und 1/𝜎′ = 𝜎 T _𝑛(𝜔_𝑠) und erhalten:

nichts mehr im Wege. Wir ersetzen nur noch die Zwischenvariablen (mit Strich) und erhalten für die Pole:¹⁹

sowie die Halbachsen (mit 𝜔_𝐻² −𝛼_𝐻² = 1) der elliptischen Verteilung:

Man verifiziert an Hand der Formeln, daß die Lage der Polstellen qualitativ dieselbe wie beim ersten Typ des TSCHEBYSCHEff-Tiefpaß (siehe Abbildung 2.5) ist.

2.5 CAUER-Tiefpaß

2.5.1 Amplitudencharakteristik

W. CAUER hat unter anderem das Problem der Bestapproximation des idealen Tiefpaß-Amplitudengangs bzw. der charakteristischen Funktion (Drosselung) in seinen Arbeiten untersucht [8]. Dabei ist er in wissenschaftlicher Art und Weise von der elektrotechnischen Problemstellung zur mathematischen Lösung gelangt. Wir wollen hier (der Kürze halber) auf die Erkenntnisse zu den elliptischen Haupt-Transformationen höherer Ordnung zurückgreifen, welche im Anhang ?? dargestellt sind.

Für die Drosselungsfunktion D(𝜔) gibt es in der Literatur die verschiedensten Darstellungen [8, 40, 26, 45, 32, 10, 9], welche sich aber immer nur in der Skalierung von Amplituden- und Frequenzachse unterscheiden. Im Folgenden werden die Lösungsformeln ?? und ?? der ersten elliptischen Haupt-Transformation nach C. G. J. JACOBI als Ausgangspunkt dienen, die grundsätzliche Argumentation sich aber auf E. I. SOLOTAREff und dessen drittes Approximationsproblem stützen.²⁰

Wir gehen also von den genannten Gleichungen ?? und ?? aus und definieren eine Funktion:²¹

Der Parameter 𝑘 wird das (elliptische) Modul genannt, welches auch häufig als Modulwinkel 𝑘 = sin Θ anzutreffen ist. Der Multiplikator 𝑀 ist ein nach Formel ?? (Seite ??) berechneter Vorfaktor. Die zur Berechnung der Koeffizienten benötigte Größe 𝐾 ist das sogenannte elliptische Integral erster Art 𝐾 = K (𝑘)

nach Anhang ??. Mit sn wird der elliptische Sinus (vgl. Anhang ??) abgekürzt.

Der Verlauf von C(𝑥; 𝑘) ist in den Abbildungen ?? und ?? von Anhang ??, welcher sich schwerpunktmäßig mit den Eigenschaften genau dieser elliptischen Transformationsfunktion(en) auseinandersetzt, dargestellt. C(𝑥; 𝑘) ist hier vor allem deshalb von besonderem Interesse, da sie der Approximationsvorschrift eines CAUER-Tiefpaß’, nämlich der gleichmäßigen Approximation des Dämpfungs- bzw. Amplitudenverlaufs im normierten Frequenzbereich 0 ≤ 𝜔 ≤ 1 und 𝜔_𝑠 ≤ 𝜔 ≤ ∞, genau entspricht (vgl. SOLOTAREff’s drittes Problem in Anhang ??). Wir setzen aus vorgenannten Gründen die skalierte Funktion C(𝜔; 𝑘) als Drosselung an

lassen sich die Dämpfungswerte 𝐴_max und 𝐴_min aus dem Tiefpaß-Toleranzschema von Abbildung 2.1 angeben.

Variation des Parameters 𝑘 zeigt, daß er die Steilheit im Übergangsbereich 1 < 𝜔 < 𝜔_𝑠, aber auch die Welligkeit im Durchlaßbereich bzw. Mindestdämpfung im Sperrbereich wesentlich beeinflußt. In Abbildung 2.7 ist der Dämpfungsverlauf eines CAUER-Tiefpaß für geraden und ungeraden Grad 𝑛 dargestellt.

Bemerkenswert ist in diesem Zusammenhang eine Eigenschaft von Gleichung 2.26, welche ebenfalls der Transformationstheorie (vgl. Formel ?? dort) der elliptischen Funktionen von JACOBI entspringt.²²

2.5.2 Null- und Polstellen

Zunächst sei auf eine Konsequenz von Gleichung 2.28 im Hinblick auf die Pol- und Nullstellen der Drosselung eingegangen.²³ Sie führt sofort zu der Schlußfolgerung, daß diese nicht unabhängig voneinander sind. Setzt man in die Beziehung nämlich beispielhaft eine Nullstelle 𝜔◦(D) 𝜈 von C(𝜔; 𝑘) ein, dann gilt:

Folglich muß die linke Seite in Gleichung 2.28 an der Stelle 1/𝑘𝜔◦(D) 𝜈 einen Pol 𝜔✕(D) 𝜇 besitzen. Der Zusammenhang zwischen den Null- und Polstellen der Dämpfung ist demzufolge durch folgende Beziehung charakterisiert:

2.6 Bessel-Tiefpaß

Der BESSEL- bzw. THOMSON-Tiefpaß ist vom Syntheseansatz her kein System mit dem Ziel der Selektion von Frequenzanteilen (wie die vorangegangen Filter), sondern eher als verzerrungsarmes Übertragungssystem zu verstehen. Approximiert wird dabei die Übertragungsfunktion H(𝑠) eines idealen LTI-Systems bzw. dessen linearen Phasengang [38, 37].

Die Verzögerungszeit 𝑡₀ ignorierend konzentrieren wir uns zuerst auf die Darstellungsmöglichkeiten der Exponentialfunktion e ^𝑥 durch Hyperbelfunktionen

Bricht man die Reihen für sinh 𝑥 und cosh 𝑥 nun einfach nach einer beschränkten Anzahl von Gliedern ab, dann

Besser ist an dieser Stelle eine Kettenbruchentwicklung – mit den vorteilhaften Eigenschaften:

Durch eigene Rechnung oder Verwendung eines geeigneten Nachschlagewerks erhält man aus der Reihenentwicklung den folgenden Kettenbruch des hyperbolischen Cotangens:

Bricht man diese Entwicklung nach 𝑛 Schritten ab, so kann man daraus eine rationalen Bruch coth 𝑥 ≈ 𝑃_𝑛/𝑄_𝑛 bestimmen. Durch vollständige Induktion kann verifiziert werden, daß Zähler und Nenner den Rekursionsformeln

gehorchen.²⁵ Berücksichtigt man die Anfangswerte 𝑃₀, 𝑄₀, 𝑃₋₁ und 𝑄₋₁, dann lassen die Formeln sofort erkennen, daß das Zählerpolynom 𝑃_𝑛 nur gerade Potenzen von 𝑥 enthält, das Nennerpolynom 𝑄_𝑛 dagegen alle Ungeraden.

Kommen wir nun zurück zur Approximation von e ^𝑥 und interpretieren 𝑃_𝑛 und 𝑄_𝑛 als Näherung für Zähler und Nenner in

Die Summe (und gleichzeitig Berechnungsvorschrift auf der rechten Seite) nennt man BESSEL-Polynom vom Grad 𝑛.

Mit der so gewonnen Näherung für e ^𝑥 kann man als Übertragungsfunktion des verzerrungsarmen Systems

angeben, wobei 𝑏₀ nur zum Zwecke der Normierung auf H(0) = 1 hinzugefügt wurde. Da in der Kettenbruchentwicklung des Quotienten 𝑃_𝑛/𝑄_𝑛 nach Formel 2.30 alle linksseitigen Summanden (2𝑛 − 1)/𝑠 positive Koeffizienten (2𝑛 − 1) haben, handelt es sich bei B_𝑛(𝑠) wirklich um ein HURWITZ-Polynom [8, VIII-15b], [11, S. 3.1.3], [9, S. 44.5].²⁶

Einen typischen Frequenzgang nach Gleichung 2.32 zeigt Abbildung 2.8. Recht gut zu erkennen ist dabei der relativ lineare Phasengang, welcher sich im Nullpunkt als maximal flache Gruppen- bzw. Signallaufzeit präsentiert.