1   LTI-Systeme

1.1   Systemüberblick

Bevor auf die konventionellen Approximationen für zeit- und wertkontinuierliche Filter eingegangen werden kann, noch eine kurze Rekapitulation der Eigenschaften linearer zeitinvarianter Systeme [30, S. 5.], [22, S. 1].

1.2   Linearität

Ein System ist linear, wenn das Superpositionsprinzip (oder der Überlagerungssatz) gilt, d. h. die Gesamtwirkung kann als Summe der Teilwirkungen wiefolgt ausgedrückt werden:

Für ein LTI-System berechnet sich die Ausgangsfunktion als Faltung der Impulsantwort h(𝑡) mit dem Eingangssignal

(1.1)

weshalb die Summe durch

beschrieben werden kann.¹

1.3   Stabilität

Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die (asymptotische) Stabilität eines linearen, zeitinvarianten Systems besteht darin, daß unter der Voraussetzung eines endlichen Eingangssignals |𝑥(𝑡)| < 𝑀 < ∞ das Ausgangssignal sowohl im Zeitbereich (|𝑦(𝑡)| < ∞) als auch Bildbereich ( < ∞) beschränkt ist [22, S. 1.2.1], [44, S. 2.11]. Im Zeitbereich kann daraus relativ schnell eine Bedingung an die Impulsantwort des Systems abgeleitet werden, wenn man für das Integral in Formel 1.1 absolute Konvergenz fordert [27, S. 1.4.5].²

Im Zeitbereich fordert man deshalb für die Impulsantwort eines stabilen LTI-Systems:

(1.2)

was gleichzeitig die Existenz des FOURIER-Integrals H(j𝜔) = F {h(𝑡)} sichert [41], [27, S. 2.3.1], [42, § 4·43], [30, S. 2–1].

Eine davon abgeleitete Forderung bei rationaler L-Übertragungsfunktion

(1.3)

ist die, daß alle Polstellen negative Realteile aufweisen müssen (HURWITZ-Polynom) und der Grad des Zählerpolynoms höchstens so groß wie der des Nenners sein darf. Nur so kann (in einer ersten Betrachtung für 𝑛 > 𝑚) gewährleistet werden, daß die Partialbruchzerlegung

(1.4)

bei der Rücktransformation in den Zeitbereich zu einer beschränkten Impulsantwort führt [36, S. 2.5.4], [9, S. 44.2], [21, S. 76]

(1.5)

und wegen

im Unendlichen sogar verschwindet.

Sollte jedoch 𝑛 = 𝑚 gelten, dann kann H(𝑠) in die Summe aus einer echt gebrochen rationalen Funktion (auf welche wieder die Formeln 1.4 und 1.5 zutreffen) und einer Konstante 𝑎_𝑛/𝑏_𝑛 zerlegt werden.³

Durch eine Grenzwertbetrachtung für 𝑠 → ∞ sieht man sofort, daß H(∞) reell und endlich ist.⁴

(1.7)

Nimmt man noch die L-Transformationsregel 𝛿(𝑡) 1 hinzu, so ergibt sich aus

(1.8)

die verallgemeinerte Impulsantwort:⁵

(1.9)

1.4   Kausalität

Für Systeme der realen Welt kann man grundsätzlich davon ausgehen, daß es eine Wirkung vor der Ursache ausgeschlossen ist. Man fordert deshalb von einem so charakterisierten LTI-System, daß für 𝑡 < 0 das Ausgangssignal 𝑦(𝑡) verschwindet. Aus systemtheoretischer Sicht kann eine derartige Einschränkung an die Zeitfunktion nicht ohne Einfluß auf die Bildfunktion der FOURIER- bzw. LAPLACE-Transformation bleiben. Welche Forderungen an die Transformierte eines kausalen Signals 𝑦(𝑡) unter dieser Bedingung zu stellen sind, soll im Folgenden ermittelt werden.

1.4.1   F -Bildfunktion

Der geradlinigste Ansatz formuliert das Verschwinden des Signals 𝑦(𝑡) für 𝑡 < 0 durch die Äquivalenz

FOURIER-Transformation dieser (notwendigen, für realisierbare Systeme nicht hinreichenden) Bedingung in den Bildbereich führt mit Hilfe des Faltungssatzes 𝑓₁(𝑡)𝑓₂(𝑡) 𝐹₁(j𝜔) ∗ 𝐹₂(j𝜔)/2𝜋 sowie der Korrespondenz u(𝑡) 𝜋𝛿(𝜔) + 1/j𝜔 zu:⁶

Separiert man Real- und Imaginärteil, dann muß für ein kausales Signal

gelten. Umstellen nach Re 𝑌(j𝜔) und Im 𝑌(j𝜔) ergibt folgende Zusammenhänge:

Real- und Imaginärteil der FOURIER-Transformierten eines kausalen Signals sind also wechselseitig über die HILBERT-Transformation

verbunden [31, S. 9], [24, S. 5.1], [13, S. 4], [19, S. 11.9].⁷

Ein anderer, aber sehr einfacher Ansatz geht davon aus, daß grundsätzlich jede Funktion in eine gerade und eine ungerade Teilfunktion 𝑦(𝑡) = 𝑦_𝑔(𝑡)+𝑦_𝑢(𝑡) zerlegt werden kann [30, S. 10–2], [19, Appendix 1], [13, S. 4.1].

Für einen kurzen Beweis betrachten wir zuerst die Summe und Differenz von 𝑦(𝑡) und 𝑦(−𝑡). Dann ist festzustellen, daß es sich bei 𝑦₊(𝑡) = 𝑦(𝑡) + 𝑦(−𝑡) um eine gerade, bei 𝑦₋(𝑡) = 𝑦(𝑡) − 𝑦(−𝑡) hingegen um eine ungerade Funktion handelt.⁸

Mit der (ebenfalls) geraden Funktion 𝑦_𝑔(𝑡) = 𝑦₊(𝑡)/2 sowie der ungeraden Funktion 𝑦_𝑢(𝑡) = 𝑦₋(𝑡)/2 gilt dann:

und wir sind schon fertig. Die Berechnungsvorschrift für die Teilfunktionen lautet:

d. h. beide Funktionen sind von 𝑦(𝑡) und deshalb auch wechselseitig abhängig.

Im speziellen Fall eines kausalen Signals, d. h. 𝑦(𝑡) = 0 für 𝑡 < 0 bzw. 𝑦(−𝑡) = 0 für 𝑡 > 0, kann folgendermaßen vereinfacht werden:⁹

Hieraus läßt sich die Abhängigkeit zwischen geradem und ungeradem Anteil von 𝑦(𝑡) direkt ablesen.

Berücksichtigt man jetzt noch die Eigenschaft der FOURIER-Transformation (reeller Zeitfunktion), daß der gerade Anteil von 𝑦(𝑡) mit dem Realteil der Bildfunktion 𝑌(j𝜔), der ungerade Teil hingegen mit dem Imaginärteil korrespondiert (vgl. ??), so führt Anwendung des Faltungssatzes 𝑓₁(𝑡)𝑓₂(𝑡) 𝐹₁(j𝜔) ∗ 𝐹₂(j𝜔)/2𝜋 sowie der Korrespondenz sgn(𝑡) 2/j𝜔 zum bekannten Ergebnis:

1.4.2   L-Bildfunktion

Nehmen wir als Ausgangssituation der Betrachtungen in der LAPLACE-Ebene an, daß die Transformierte 𝑌(𝑠) = Re 𝑌(𝑠)+ j Im 𝑌(𝑠) des reellen Signals 𝑦(𝑡) in der rechten Halbebene vollständig analytisch sei, d. h. dort weder Singularitäten (also auch keine Pole) noch Sprünge hat. Aus der Funktionentheorie ist bekannt, daß sich eine solche Funktion (unter der Bedingung lim _𝑠→∞𝑌(𝑠) = 0, vgl. Abschnitt ?? oder [30, S. 10–5]) für Re 𝑠 > 0 vollständig durch ihre Randwerte auf der imaginären Achse definiert [6, S. 119].¹⁰

(1.13)

Aus demselben mathematischen Gebiet entstammen auch die folgenden Ausdrucksmöglichkeiten, welche für Re 𝑠 > 0 die Rückgewinnung der Funktion nur aus dem Real- oder Imaginärteil ermöglichen.

(1.14)

Zur Rücktransformation der letzten Darstellung in den Zeitbereich wenden wir jetzt den Faltungssatz der LAPLACE-Transformation (𝐹₁ ∗𝐹₂)(𝑠) =∫ _−j∞^j∞𝐹₁(Ω)𝐹₂(𝑠−Ω) dΩ 2𝜋j 𝑓₁(𝑡)𝑓₂(𝑡) an [1, S. 29], wobei 𝐹₂(𝑠) = 𝑠⁻¹ und 𝐹₁(𝑠) = Re 𝑌(𝑠) bzw. 𝐹₁(𝑠) = j Im 𝑌(𝑠) gesetzt wird.

(1.15)

Diese Beziehung enthält das wesentliche Resultat: wegen der Multiplikation mit dem Einheitssprung u(𝑡) verschwindet das Signal 𝑦(𝑡) für 𝑡 < 0 (Kausalität), wenn 𝑌(𝑠) in der gesamten rechten Halbebene analytisch ist.¹¹

Die Aussage führt zu einer wesentlichen Forderung an die Übertragungsfunktion eines LTI-Systems (wenn 𝑦(𝑡) = h(𝑡) und demzufolge 𝑌(𝑠) = H(𝑠) gesetzt wird), nämlich daß eine rationale L-Übertragungsfunktion H(𝑠) keine Pole in der rechten Halbebene besitzen darf.

1.4.3   Schlußfolgerungen

Anhand der vorangegangenen Ausführungen wurde deutlich, daß ein kausales Signal (bzw. die Impulsantwort eines LTI-Systems) unbedingt mit einer Abhängigkeit zwischen Real- und Imaginärteil der Bildfunktion (über die HILBERT-Transformation) verbunden ist. Aus der Funktionentheorie entstammte die weiterreichende Erkenntnis, daß ein solcher Zusammenhang immer dann gegeben ist, wenn sich das Signal in der rechten L-Halbebene als frei von Singularitäten darstellt. Für die Übertragungsfunktion eines LTI-Systems hat deshalb die Lage der Pole entscheidende Bedeutung nicht nur in Bezug auf die Stabilität sondern auch auf die Kausalität der Impulsantwort und damit die Realisierbarkeit.

Was die kausalen Signale angeht, so kann man aufgrund der Abhängigkeit zwischen Real- und Imaginärteil noch redundanzfreie Darstellungen ableiten [5, S. 13]:

Durch Anwendung des Faltungssatzes und (wieder) der Transformation für den Einheitssprung sowie ∫ _−∞^∞𝛿(𝜔−Ω) Re[𝑌(jΩ)] dΩ= Re 𝑌(j𝜔) auf

erhält man für die Zeitfunktion

Sollte F ⁻¹{Re 𝑌(j𝜔)} für 𝑡 = 0 verschwinden, dann ist es also ausreichend nur eine Komponente, entweder Real- oder Imaginärteil, zur Beschreibung des Signals 𝑦(𝑡) heranzuziehen.¹²

(1.16)

Die jeweils andere Komponente ist faktisch redundant, was solche Transformationen wie die Cosinus- oder Sinus-Transformation rechtfertigt [44, S. 3.2], [36, S. 5.1.2]. Diese ergeben sich (bis auf einen konstanten Faktor) sofort aus Formel 1.16, wenn man die Symmetrieeigenschaften der trigonometrischen Funktionen berücksichtigt.

In gleicher Art und Weise können auch die Ausführungen für die LAPLACE-Transformierte 𝐹₁(𝑠) von Seite § fortgesetzt werden. Denn gehorcht L⁻¹{𝐹₁(𝑠)} der Bedingung nach Gleichung 1.15 “von Hause aus”, d. h. verschwindet für 𝑡 < 0, so wird wegen des Wegfalls des jetzt unnötigen Faktors u(𝑡) das kausale Signal 𝑦(𝑡) vollständig durch den Real- oder Imaginärteil seiner LAPLACE-Transformierten beschrieben.

(1.17)

1.4.4   Integralsätze

Berücksichtigt man die Eigenschaften der FOURIER- bzw. LAPLACE-Transformierten reeller Zeitfunktionen, so lassen sich für die Übertragungsfunktion von kausalen LTI-Systemen zahlreiche Darstellungsformen angeben, die oftmals als Integralsätze von BODE bezeichnet werden [4], [24, S. 5.1], [30, S. 10.], [34, S. 2.3.2].

1.4.4.1 Real-/Imaginärteilbeziehungen in der L-Ebene

Eine erste Betrachtung dazu (die etwas ausführlicher erfolgt), geht von Formel 1.13 aus und erweitert zunächst den Integranden mit 𝑠 + jΩ.

Bedenkt man nun, daß

• die Integration von −∞ bis ∞ über eine ungerade Funktion Null ergibt;
• die Integration einer geraden Funktion durch Verdoppelung in den neuen Grenzen [0,∞] ausgedrückt werden kann;
• der Imaginärteil der F -Transformierten einer reellen Zeitfunktion eine ungerade Funktion ist;
• der Realteil der F -Transformierten einer reellen Zeitfunktion eine gerade Funktion ist;
• Division/Multiplikation einer geraden und einer ungeraden Funktion wieder eine ungerade Funktion ergibt;
• der Nenner Ω² + 𝑠² als auch Ω Im H(jΩ) bezüglich der Integrationsvariable Ω gerade Funktionen sind;
• Ω Re 𝐹(jΩ) hingegen eine ungerade Funktion darstellt;

so ergibt sich im L-Bildbereich:

Eine weitere Darstellung, der allerdings keinerlei Annahmen in Bezug auf die Zeitfunktionen zugrunde liegen, kann ausgehend von 1.14 gewonnen werden [44, S. 3.13]. Dazu addiert und subtrahiert man einfach Re H(𝑠) im Zähler des Integrals

und nimmt die für Re 𝑠 > 0 geltende Beziehung ∫ _−j∞^j∞(𝑠 −Ω)⁻¹ dΩ= j𝜋 zu Hilfe.

Bringt man noch Re H(𝑠) auf die linke Seite, so kann direkt eine neue Variante der Abhängigkeitsdarstellung zwischen Real- und Imaginärteil gewonnen werden.¹³

1.4.4.2 Real-/Imaginärteilbeziehungen auf der j𝜔-Achse

Auf der imaginären Achse gilt (für Systeme mit lim _𝜔→∞ H(j𝜔) = 0, vgl. Abschnitt ??) die aus der Funktionentheorie bekannte Beziehung:

(1.18)

Mit dem Ziel den Nenner des Integranden zu einer geraden (oder ungeraden) Funktion zu machen, soll uns 𝜔+Ω als Erweiterung dienen.

Dabei verschwinden die Integrale über 𝜔 Im H(jΩ) und Ω Re H(jΩ), da es sich bezüglich Ω um ungerade Funktionen handelt.

(1.19)

Für den Real- und Imaginärteil kann man nun direkt ablesen (vgl. auch [30, S. 10–2], [24, S. 5.1], [44, S. 3.13]):¹⁴

1.4.4.3 BODE’s Real-/Imaginärteilbeziehungen

Oftmals sind in der Literatur Darstellungen zu finden, in denen H(j𝜔) auch auf der rechten Seite im Integranden auftaucht und die letztlich auf [4] zurückgehen [30, S. 10–2], [44, S. 3.14], [35, S. 6.4].¹⁵

Offensichtlich kann aber der Term mit H(j𝜔) aus dem Integral herausgezogen werden, da er nicht von der Integrationsvariable Ω abhängt. Unsere Aufmerksamkeit soll deshalb dem Integral ∫ ₀^∞2𝜔/(𝜔² −Ω²) dΩ gelten,¹⁶ dessen CAUCHY’scher Hauptwert sowohl anschaulich als auch im Hinblick auf dessen Stammfunktion ln verschwindet [1, S. 3.3.23].¹⁷

Beide Beziehungen entsprechen folglich den Formeln 1.20 und 1.21, nutzen also nur die Äquivalenz:

1.4.4.4 Systeme mit H(∞) ≠ 0

Für LTI-Systeme mit der Eigenschaft

aber mit beschränkter F -Übertragungsfunktion | H(∞)| = lim _|𝑠|→∞| H(𝑠)|, wie für rationale Übertragungsfunktionen in Abschnitt 1.3 betrachtet, kann man nicht auf JORDAN’s Lemma zurückgreifen. Aus diesem Grund sind alle vorangegangenen Aussagen derart anzupassen, daß der im Unendlichen verlaufende Integrationsweg (nach Abbildung ??) bei der Anwendung von CAUCHY’s Integralformel berücksichtigt wird [44, S. 3.12], [30, S. 10–2]. Den allgemeinen Fall einer, in der rechten Halbebene analytischen Funktion, muß man deshalb folgendermaßen korrigieren:

(1.24)

Betrachten wir zuerst den Integrationsweg 𝐶_∞ und bringen die Substitution Ω−𝑠 = 𝑟 e ^j𝜃 mit dΩ= j 𝑟 e ^j𝜃d𝜃 zur Anwendung.

Unter der Maßgabe 𝑟 → ∞ kann man sicherlich |Ω| ≫ |𝑠| annehmen, d. h. Ω − 𝑠 ≈ Ω setzen.

Außerdem ist wegen der (für reelle Zeitfunktionen immer geltenden) Relation

eine Beschränkung des Integrationsweges auf einen positiven Viertelkreis möglich.

Letzter Ausdruck weist nun eindeutig darauf hin, daß es sich bei dem Integral entlang 𝐶_∞ um eine rein imaginäre Konstante handelt, welche für 𝑟 → ∞ sowohl allgemein als auch speziell auf der reellen Achse (𝜃 = 0, Re 𝑠 → ∞) nicht notwendigerweise verschwinden muß.

Zurück zur Ausgangsbeziehung 1.24 erhalten wir durch Einsetzen

und stellen fest, daß sich der Realteil¹⁸ von H(𝑠) um den konstanten Betrag

erhöht.¹⁹ Aus diesem Grund ändert sich z. B. Formel 1.13 wiefolgt:

d. h. der Realteil kann bei solchen Systemen nur bis auf eine Konstante aus dem Imaginärteil bestimmt werden [30, S. 10–2]. Umgekehrt bleibt die Abhängigkeit nach Beziehung 1.11 jedoch bestehen, so daß sich die neue Gesamtsituation folgendermaßen darstellt:²⁰

1.5   Minimalphasensysteme (MPS)

1.5.1   Eigenschaften

Minimalphasig nennt man Systeme, die in der rechten L-Halbebene weder Pole noch Nullstellen besitzen [30, S. 10–3]. Für rationale Übertragungsfunktionen bedeutet diese Eigenschaft, daß Nenner und Zähler von H(𝑠) HURWITZ-Polynome sein müssen. Die Freiheit von Polen bzw. Nullstellen für Re 𝑠 > 0 machen H(𝑠) und H ⁻¹(𝑠) auf diesem Gebiet zu analytischen Funktionen.²¹ Unter solchen Voraussetzungen ist man in der Lage, H(𝑠) zu logarithmieren und dabei die Holomorphieeigenschaft trotzdem zu bewahren. Bezeichnen wir 𝐹(𝑠) = ln H(𝑠), so kann man nach Beziehung 1.10 und 1.11 einen determinierten Zusammenhang zwischen Dämpfung A(𝑠) = − Re 𝐹(𝑠) = − ln | H(𝑠)| und Phase B(𝑠) = − Im 𝐹(𝑠) = −j ∡ H(𝑠) angeben.²²

Eine wichtige Voraussetzung für die Anwendbarkeit beider Formeln ist nach dem Lemma von JORDAN allerdings lim _|𝑠|→∞|𝐹(𝑠)| = 0. Im Allgemeinen kann man von dieser Voraussetzung jedoch nicht ausgehen, so daß genau wie in den Beziehungen 1.25 die Dämpfung A(∞) zu berücksichtigen ist [12, S. 5.3.1.2].

1.5.2   Zerlegungssatz von BODE

Praktisch kann man jedes LTI-System mit rationaler Übertragungsfunktion H(𝑠) = 𝑈(𝑠)/𝑉(𝑠) als Kettenschaltung eines Allpaß- und eines Minimalphasensystems verstehen [30, S. 10–3], [24, S. 5.2], [44, S. 3.14], [10, S. 3.5]. Spalten wir dazu die Zählerfunktion 𝑈(𝑠) so auf, daß alle Nullstellen mit negativem Realteil in 𝑈₋(𝑠) liegen, die mit positivem in 𝑈₊(𝑠).

Einfache Erweiterung mit dem HURWITZ-Polynom 𝑈₊(−𝑠) ergibt

(1.26)

d. h. die Zerlegung in

• ein minimalphasiges System H _MPS, welches keine Nullstellen in der rechten L-Halbebene besitzt;²³
• sowie einen stabilen Allpaß H _ALP, also ein System mit | H _ALP(𝑠)| = 1.

(1.27)

1.5.3   Schlußfolgerungen

1. Der eigentliche Begriff “Minimalphasensystem” sollte an dieser Stelle klar werden, wenn man die Gesamtphase

   

   betrachtet. Denn würde der Anteil des Allpaß’ vermieden, so reduzierte sich das Gesamtsystem auf ein Minimalphasensystem.

2. Der determinierte Zusammenhang zwischen Dämpfung und Phase eines Minimalphasensystems besteht aufgrund der Nullstellenlage (bzw. Analytizität von ln H _MPS(𝑠) und ln H _MPS⁻¹(𝑠) in der rechten L-Halbebene). Die Abhängigkeit von Real- und Imaginärteil der einzelnen Übertragungsfunktion (vgl. Abschnitt 1.4) ist davon thematisch unberührt, zumal sich die dadurch bedingte Kausalität und Stabilität auf die Lage der Polstellen bezieht.

3. Aus Formel 1.26 kann man als allgemeine Übertragungsfunktion eines Allpaß’ ablesen:

   

Um die Problematik etwas anschaulicher zu gestalten, hier ein Beispiel aus [30, S. 10–3].

Wie sofort erkennbar, handelt es sich um ein stabiles System mit den Polen 𝑠✕1 = −1 und 𝑠✕2 = −2. Die Nullstelle des Allpaß’ bei 𝑠◦ = +1 hat einen positiven Realteil, ist also H _ALP(𝑠) richtig zugeordnet. Obwohl insgesamt H(∞) = 0 gilt (JORDAN-Bedingung), verschwindet die Amplitude des Allpaß-Anteils H _ALP(∞) im Unendlichen nicht.²⁴ Auch die Partialbruchzerlegung für H(𝑠) deutet einerseits auf Stabilität (speziell auch h(∞) = 0), andererseits auch auf Kausalität (h(𝑡) = 0 für 𝑡 < 0) hin.

Beide als Kettenschaltungen anzusehende Übertragungsfunktionen

haben voneinander abhängige Real- und Imaginärteile, wie man mit der Transformationsbeziehung

feststellt.

Trotzdem besteht ein fester Zusammenhang zwischen Dämpfungs- und Phaseverlauf nur für den Minimalphasenteil H _MPS(𝑠), nicht für H(𝑠) insgesamt. Der Allpaß-Anteil sorgt insbesondere dafür, daß sich die Phase um den Betrag arctan erhöht.

1.6   Realisierbarkeit

LTI-Systeme, die sowohl kausal als auch stabil sind, nennt man (physikalisch) realisierbar. Kausalität bedeutet 𝑦(𝑡) = 0 für 𝑡 < 0 oder im Bildbereich, daß H(𝑠) in der rechten L-Halbebene vollständig analytisch ist.²⁵ Stabilität liegt vor, wenn die Impulsantwort h(𝑡) beschränkt ist (und für 𝑡 → ∞ verschwindet, vgl. Abschnitt 1.3) oder, bei rationaler Übertragungsfunktion, alle Pole von H(𝑠) negative Realteile aufweisen. Speziell für quadratisch integrierbare Übertragungsfunktionen²⁶

(1.28)

sind diese Bedingungen mit Hilfe des PALEY-WIENER-Kriteriums prüfbar [28, Theorem XII], [30, S. 10–5], [2, § 82], [44, S. 3.22], [41].

(1.29)

Die Bedeutung der PALEY-WIENER-Bedingung liegt unter anderem darin, daß es

• sich bei | H(j𝜔)| und − ln | H(j𝜔)| um die meßbaren Größen Amplitudengang bzw. Dämpfungsverlauf (siehe Fußnote ??) handelt und
• nicht auf Minimalphasensysteme beschränkt ist, denn bezüglich des Amplitudenganges H(𝜔) = | H(j𝜔)| unterscheiden sich diese nicht von anderen LTI-Systemen (Zerlegungssatz von BODE, vgl. Formel 1.27 in Abschnitt 1.5).

Man kann sich nun fragen, ob stabile, kausale Minimalphasensysteme mit quadratisch-integrierbarer Übertragungsfunktion bzw. Impulsantwort (nach 1.28) das PALEY-WIENER-Kriterium grundsätzlich immer erfüllen?²⁷

Da die Übertragungsfunktion H(𝑠) von solchen LTI-Systemen weder Pole noch Nullstellen in der rechten L-Halbebene (und auch nicht auf der j𝜔-Achse) aufweist, gilt 0 < H(𝜔) < ∞. Unter dieser Voraussetzung wird die einzige (wesentliche) Singularität des Logarithmus im Koordinatenursprung ausgeschlossen und die komplexe Dämpfung A(𝑠) = − ln H(𝑠) ∈ C in der rechten Halbebene, d. h. für Re 𝑠 ≥ 0 zu einer analytischen Funktion. Aus der Darstellung des komplexen Logarithmus

wird ersichtlich, daß ln | H(j𝜔)| den Realteil von A(𝑠) entlang der imaginären Achse ausmacht.

Definieren wir nun zwei logarithmische (“Gleichrichter”-) Funktionen folgendermaßen:

dann wird A ₊(𝜔) immer positiv, A ₋(𝜔) hingegen stets negativ sein. Mit

kann man folgende Beweismöglichkeiten in Betracht ziehen:

1. Sind beide Teilintegrale (Summanden) konvergent, dann wird das PALEY-WIENER-Kriterium bestätigt.
2. Sollte ein Teilintegral und ein Summenintegral konvergent sein, dann muß es das andere Teilintegral auch (und das PALEY-WIENER-Kriterium ist ebenfalls verifiziert).

Nach Voraussetzung (1.28) ist | H(j𝜔)| quadratisch integrierbar, wodurch sich (mit der Ungleichung 𝑥 > ln 𝑥) folgende Relationen für die positiven Werte von ln | H(j𝜔)| ergeben:

Damit ist die Konvergenz eines Teilintegrals schon nachgewiesen und es bietet sich an,²⁸ einen Existenzbeweis für das (analytisch einfach behandelbare) Summenintegral

zu erbringen. Dazu gehen wir in die komplexe L-Ebene über

(1.30)

und zerlegen das rechte Integral wiefolgt:²⁹

Die beiden Teilintegrale können nun durch Kurvenintegration auf dem halbkreisförmigen (rechts liegendem) Weg nach Abbildung ?? bestimmt werden. Die Rechnung soll an dieser Stelle jedoch nicht durchgeführt werden, statt dessen die bekannten Ergebnisse aus der Funktionentheorie zur Anwendung kommen:

• Bei dem rechten Kurvenintegral handelt es sich wegen der Polfreiheit von A(𝑠) in der rechten Halbebene um CAUCHY’s Integralformel ?? in der (rechten) Halbebene für den Funktionswert 𝑧₀ = 1.

  
• Das linke Integral verschwindet nach dem Satz von CAUCHY (??) für Re 𝑠 ≥ 0, denn alle Pole von A(𝑠) selbst sowie 𝑠✕ = −1 liegen in der linken Halbebene.

Einsetzen der letzten beiden Ergebnisse in Zwischenformel 1.30 zeigt, daß für stabile, kausale Minimalphasensysteme das Integral

(1.31)

konvergiert.