3   Frequenztransformationen

3.1   Einleitung

Aus den Tiefpaßapproximationen kann man durch Transformation der logarithmischen Frequenzachse relativ leicht Filtertypen wie Hochpaß, Bandpaß oder Bandsperre gewinnen [29], [45, 5.4 ff.], [10, S. 4], [9, S. 66.1]. Geht man bei H(𝑠) von einer rationalen Funktion in 𝑠 aus, dann sind die folgenden Substitutionen naheliegend:¹

Zieltyp	𝑠 :=	j𝜔 :=	𝜔 :=
Tiefpaß
Hochpaß			−
Bandpaß	𝑄	j𝑄	𝑄
Bandsperre

Die Größe 𝜔₀ dient vor allem dem Zweck, eine geeignete Transformation der Grenzfrequenz(en) zu erreichen. Man kann sie sich entweder als physikalische Frequenz oder einheitenlosen Skalierungsfaktor vorstellen, je nachdem ob 𝑠 bei der Tiefpaßapproximation als normiert oder entnormiert angenommen wird.

Abbildung 3.1 stellt die Frequenztransformationen, insbesondere was die Eckfrequenzen 𝜔 = 0, 1,∞ angeht, im logarithmischen Amplitudengang dar.²

3.2   Hochpaß

3.2.1   Übertragungsfunktion

Die spezielle konforme Abbildung 𝑠 := 𝜔₀/𝑠 nach Tabelle 3.1 (Inversion³) entspricht im Amplitudengang einer Spiegelung um die Frequenz 𝜔₀, wenn man von einer logarithmischen Frequenzachse ausgeht (siehe auch Abbildung 3.2).

Da bei den Standardapproximationen die normierte Grenzfrequenz üblicherweise zu 𝜔_𝑔 = 1 gewählt wird, kann man 𝜔₀ = 1 setzen und für die Übertragungsfunktion in der L-Ebene schreiben:

Multipliziert man noch den Nenner mit 𝑠^𝑛 und den Zähler mit 𝑠^𝑚, so führt dies zu einer Umordnung der Koeffizienten.

(3.1)

3.2.2   Pole und Nullstellen

Die Wirkung der Transformation auf die rationale Übertragungsfunktion nach Formel 3.1 korrespondiert mit einer bestimmten Verschiebung der Pol- und Nullstellen in der komplexen Ebene. Sehen wir uns dazu die Übertragungsfunktion H(𝑠) eines Tiefpaß’ in Linearfaktordarstellung an.

Einsetzen der Substitution 𝑠 := 𝑠⁻¹ läßt daraus

werden, d. h. :

• Pole und Nullstellen des Tiefpaß’ werden invertiert;

  
• es entsteht eine neue Nullstelle bei 𝑠◦ = 0 mit der Vielfachheit 𝑛−𝑚;

• als Vorfaktor wirkt nun das (komplexe) Produkt aller Pole bzw. Nullstellen:

  

3.3   Bandpaß

3.3.1   Übertragungsfunktion

Ein Bandpaßsystem hat typischerweise einen Durchlaßbereich, welcher sich von 𝜔_𝑔1 bis 𝜔_𝑔2 erstreckt (siehe Abbildung 3.3).

Aus dem Tiefpaß-Amplitudengang läßt sich eine solche Charakteristik ableiten, wenn man die Transformationsbeziehung (nach Tabelle 3.1)

(3.2)

anwendet. Die Kreisfrequenz 𝜔₀ nimmt in diesem Fall die Bedeutung einer Mittenfrequenz an, 𝑄 bezeichnet man als Güte. Die Interpretation von 𝜔₀ wird einsichtig, wenn man Gleichung 3.2 folgendermaßen umformt (vgl. auch [30, S. 7–1]):

Um auch für die Güte 𝑄 eine anschauliche Aussage zu erhalten, wenden wir (nach Vereinfachung für 𝜔₀ = 1) auf

die quadratische Lösungsformel (vorerst formal) an:

(3.3)

An Hand der mehr anschaulichen Umformung

wird deutlich, daß 𝑄 insbesondere auf die Skalierung der Tiefpaßfrequenz 𝜔_LP und in Folge auf die Breite des Durchlaßbereichs wirkt.

Was wir bezüglich Formel 3.3 noch berücksichtigen müssen ist die Tatsache, daß sich Frequenztransformationen sowohl auf positive als auch negative Kreisfrequenzen beziehen. Hinzu kommt, daß wegen

eine der beiden Frequenzen 𝜔_BP in der gewonnenen Lösungsformel immer negativ wird. Man darf sich nun insofern nicht täuschen lassen, als das die andere zugehörige Frequenz (mit gleichem Vorzeichen) durch Einsetzen von −𝜔_LP erzeugt wird. Für den (normierten) Zusammenhang zwischen 𝜔_LP und 𝜔_BP ergibt sich aus diesem Grund letztlich:

(3.4)

Jede Frequenz des Tiefpasses wird demzufolge auf zwei neue Frequenzen abgebildet, die (arithmetisch) symmetrisch zu dem Wurzelausdruck liegen. Für die Abbildung der Grenzfrequenz 𝜔_𝑔 = 1 der normierten Approximationsfunktion bedeutet dies:

und deshalb für die geometrische Mittenfrequenz des Bandpaß’:⁴

(3.5)

Den Sinn, 𝑄 als Gütedefinition herzunehmen, unterstreicht folgende Formel für die absolute Bandbreite (bei Mittenfrequenz 𝜔₀ = 1):

(3.6)

3.3.2   Pole und Nullstellen

Was die Transformation der Pol- und Nullstellen angeht, so gilt dafür ebenfalls Formel 3.4. Um eine gewisse Geradlinigkeit zu wahren, wählen wir jedoch den “umständlichen” Weg⁵ und substituieren in der Produktdarstellung

zuerst die L-Variable zu 𝑄(𝑠 +𝑠⁻¹).

Aus jedem Linearfaktor der Tiefpaß-Übertragungsfunktion entspringen (wegen des quadratischen Auftretens von 𝑠 in letzter Gleichung) also zwei neue Wurzeln. Die Evaluation erfolgt durch Nullsetzen eines Faktors (hier beispielhaft an einer Nullstelle) und Anwendung der quadratischen Lösungsformel.

Zusammenfassend kann festgestellt werden, daß:

• jede Nullstelle (und sinngemäß jeder Pol) nach

  

  wieder zwei neue Nullstellen hervorbringt, wobei reelle Nullstellen nur unter der Bedingung 𝑠◦LP ≥ 2𝑄 auch wieder reelle erzeugen (ansonsten ein konjugiert-komplexes Nullstellenpaar);

• aus einem Tiefpaß vom Grad 𝑛 ein Bandpaß vom Grad 2𝑛 wird (siehe voriger Punkt);
• die Transformation zu einer neuen Nullstelle 𝑠◦BP = 0 mit der Vielfachheit 𝑛 − 𝑚 führt;

• als Vorfaktor nun

  

  wirkt.

3.4   Bandsperre

Zur Bandsperre bleibt nicht soviel zu sagen – vor allem weil sich diese Frequenztransformation wegen

als Kombination von Bandpaß- und Hochpaß-Transformation erweist (Reihenfolge beliebig, siehe auch anschauliche Darstellung in Abbildung 3.4).

Vergleicht man die Substitutionsvorschrift für 𝜔_LP mit der für die Tiefpaß-Bandpaß-Transformation (nach 3.2), so stellt man als Äquivalenz 𝜔_LP := 𝜔_LP⁻¹ fest. Inversion der Tiefpaßfrequenz 𝜔_LP in Formel 3.4 ergibt aus diesem Grunde für die Bandsperre:

(3.7)

Für die aus der Tiefpaß-Frequenz 𝜔_LP = 1 hervorgegangenen Grenzfrequenzen gilt deshalb: