2 Amplitudenmodulation (AM)

2.1 Zweiseitenband-AM

2.1.1 Zweiseitenband-AM ohne Träger

Bei der Zweiseitenband-AM (mit unterdrücktem Träger) wird ein hochfrequenter Träger cos(𝜔₀𝑡) mit einem niederfrequenten Basisbandsignal 𝑓(𝑡) in der Amplitude moduliert.

(11)

Das dabei entstehende Sendespektrum 𝑀(𝜔) kann durch FOURIER-Transformation von Formel 11 ermittelt werden. Die Multiplikation von 𝑓(𝑡) mit cos(𝜔₀𝑡) entspricht im Frequenzbereich bekanntlich einer Faltung von 𝐹(𝜔) = F {𝑓(𝑡)} mit F {cos(𝜔₀𝑡)} = [𝛿(𝜔−𝜔₀)+𝛿(𝜔+𝜔₀)]. Weil die Faltung mit einem DIRAC-Impuls grundsätzlich nur zu einer Verschiebung von 𝐹(𝜔) um ±𝜔₀ führt, erhält man als Ergebnis das typische Zweiseitenband-Spektrum:⁵

(12)

Abbildung 2 zeigt die Spektralverhältnisse in anschaulicher Form.

Durch direkten Vergleich von Formel 11 mit Ausgangsformel 1 kann man für die Beschaltung des Quadraturmodulators (offensichtlich) ablesen:

2.1.2 Alternative Zweiseitenband-AM ohne Träger

In der Praxis wird oft jedoch die Zuordnung nach Abbildung 3 realisiert:

welche keinerlei Nachteile hat. Man nimmt nur eine zusätzliche konstante Phasenverschiebung (vgl. Formel 8) von 𝜋/4 sowie eine Skalierung (vgl. Formel 9) um in Kauf.

Denn mit 𝑧(𝑡) = 𝑓(𝑡) +j 𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑡)e ^j𝜋/4 kann man aus Formel 10 für diesen Fall direkt ablesen:⁶

Ausgehend von 𝑋(𝜔) = 𝐹(𝜔) und 𝑌(𝜔) = 𝐹(𝜔) sowie unter Zuhilfenahme von Formel 5 ist auch im Spektrum

gut die gegenläufige Phasendrehung der Seitenbänder zu erkennen.

2.1.3 Zweiseitenband-AM mit Träger

Soll (wie bei der konventionellen AM) auch ein Träger 𝐴₀ cos(𝜔₀𝑡) übertragen werden, dann muß man ihn entweder beimischen oder die Modulation nach

vornehmen. Für das Spektrum gilt in diesem Fall:

wobei der erste Summand den Träger repräsentiert.

2.2 Einseitenband-AM

Im allgemeinen kann man auf die Übertragung derselben Information 𝐹(𝜔) in zwei Seitenbändern verzichten, denn sie kostet vor allem Bandbreite. Es gibt nun zwei Möglichkeiten ein Seitenband zu eliminieren:

1. man benutzt die Zweiseitenband-AM, unterdrückt das Seitenband aber vor der Übertragung;
2. die Entstehung eines zweiten Seitenbands wird von vornherein vermieden.

Gerade die zweite Möglichkeit wird in Verbindung mit dem Quadraturmodulator oftmals angewendet.

Analytische Zeitsignale Das Problem besteht eigentlich darin, daß reelle Zeitsignale in Verbindung mit Modulationsformel 12 immer zwei Seitenbänder erzeugen. Dies ist jedoch nicht der Fall, wenn man vor der Modulation aus dem Basisbandsignal 𝑓(𝑡) ein “komplexes” Signal 𝑧(𝑡) ableitet, welches analytisch ist. Solche Signale haben die spezielle Eigenschaft, daß der Realteil 𝑥(𝑡) = Re{𝑧(𝑡)} und Imaginärteil 𝑦(𝑡) = Im{𝑧(𝑡)} durch die HILBERT-Transformation verbunden sind.⁷

Das Entscheidende daran ist jedoch, daß für ein derartiges Signal 𝑧(𝑡) die FOURIER-Transformierte 𝑍(𝜔) 𝑧(𝑡) auf der negativen Frequenzachse vollständig verschwindet (vgl. Abbildung 5).⁸ Denn Transformation des Imaginärteils liefert das typische Ergebnis für einen HILBERT-Transformator, nämlich die (frequenzunabhängige) konstante −90^◦ Phasenverschiebung von 𝑌(𝜔) gegenüber 𝑋(𝜔):

Für 𝑍(𝜔) = F {𝑧(𝑡)} = F {𝑥(𝑡) +j𝑦(𝑡)} gilt deshalb:

und unter Verwendung des Einheitssprunges u(𝜔):

Einsatz des Quadraturmodulators Erzeugen wir jetzt ein analytisches 𝑧(𝑡) wie gerade besprochen, dann gilt für dessen Realteil 𝑥(𝑡) = 𝑓(𝑡) und für den Imaginärteil 𝑦(𝑡) = H{𝑓(𝑡)}. Nach dieser “Vorverarbeitung” kann darauf der Quadraturmodulator angewendet werden, wie das Blockbild 4 illustriert. Dabei stellt Δ eine Verzögerungsleitung dar, welche die Verarbeitungszeit im HILBERT-Transformator H ausgleicht.

Die Größe 𝑧(𝑡) wird mit dem komplexen Träger e ^j𝜔₀𝑡 moduliert und der Realteil dieses Modulationsproduktes entsprechend Formel 10 übertragen.⁹ Wegen 𝑧(𝑡) 𝑍(𝜔) = 2𝐹(𝜔) u(𝜔) entfällt das zweite Seitenband, was sich ausgehend von

mit Hilfe von Formel 5 nachprüfen läßt.¹⁰

Abbildung 5 stellt das zugehörige Einseitenband-Spektrum dar.