1 Aufbau und Wirkungsweise

1.1 Wirkung im Zeitbereich

Mit Hilfe des Quadraturmodulators lassen sich quasi alle modernen (Trägerfrequenz-) Modulationsverfahren realisieren. Betrachten wir dazu sein Blockbild nach Abbildung 1.

Er besitzt zwei Eingänge I (in-phase) und Q (quadrature-phase) mit den zugeordneten Zeitsignale 𝑥(𝑡) und 𝑦(𝑡), welche mit Hilfe eines Trägers (der Kreisfrequenz 𝜔₀) zu einem Modulationsprodukt 𝑚(𝑡) verknüpft werden.¹

(1)

Man kann das Modulationsprodukt 𝑚(𝑡) nach Formel 1 auch als Realteil des Produktes zweier Zeiger in der komplexen Ebene beschreiben. Dazu sei die komplexe Größe 𝑧(𝑡) = 𝑥(𝑡)+j 𝑦(𝑡) definiert und dann folgendermaßen verwendet:

(2)

Das In-Phase Signal 𝑥(𝑡) stellt also den Realteil von 𝑧(𝑡), das Quadrature-Phase Signal den Imaginärteil 𝑦(𝑡).²

1.2 Wirkung im Frequenzbereich

Das Spektrum 𝑀(𝜔) des Modulationsprodukts kann man ausgehend von Formel 1 oder von Formel 2 ermitteln [5, 2, 6, 7].

Reelle Darstellung Gehen wir in der Betrachtung zunächst von Formel 1 aus und berücksichtigen die Transformationsbeziehungen:

sowie den Faltungssatz der FOURIER-Transformation. Dann ergeben sich für die Modulationsprodukte der I/Q-Signale die folgenden Spektralverhältnisse:³

Beachtenswert (aber auch logisch) dabei ist, daß beide Spektren orthogonal zueinander stehen. Es liegt deshalb nahe diese als getrennte Kanäle anzusehen und auch verwendbar zu machen – worauf bei der Demodulation noch zurückzukommen sein wird.

Zu guter Letzt steht noch die Addition beider Komponenten aus:

(5)

Komplexe Darstellung Geht man von der komplexen Darstellung in Formel 2 aus, dann läßt sich das Spektrum durch (mehrfache) Anwendung der Modulationsformel 𝑔(𝑡)e ^j𝜔₀𝑡 𝐺(𝜔 − 𝜔₀) ermitteln. Definieren wir dazu eine Zwischengröße 𝑤(𝑡) = 𝑧(𝑡)e ^j𝜔₀𝑡 = 𝑥(𝑡)e ^j𝜔₀𝑡 + j𝑦(𝑡)e ^j𝜔₀𝑡 sowie deren Konjugiert-Komplexe 𝑤∗(𝑡) = 𝑧∗(𝑡)e ^{−j𝜔₀𝑡} und bestimmen die zugehörigen FOURIER-Transformierten:⁴

Mit 𝑚(𝑡) = Re{𝑤(𝑡)} = [𝑤(𝑡) +𝑤∗(𝑡)] ergibt sich jetzt das Spektrum zu:

1.3 Realisierung klassischer Modulationsarten

Die Universalität der Anordnung ergibt sich daraus, daß praktisch jede Art der Trägermodulation:

(6)

mit den Modulationsgrößen 𝐴(𝑡) und 𝜙(𝑡), in dieses Schema paßt [1, Kapitel 3], [8, S. 1–7]. Denn durch Anwendung des Additionstheorems cos(𝛼 +𝛽) = cos 𝛼cos 𝛽−sin 𝛼sin 𝛽 zeigt sich eine zur Ausgangsformel 1 äquivalente Form:

mit der Signalzuordnung:

Der Bezug zur komplexen Darstellung in Formel 2 ergibt sich durch Division bzw. Addition (der Quadrate) beider Komponenten:

und so in der gewohnten Darstellung von Betrag (hier die sogenannte Einhüllende bzw. Hüllkurve) und Phase einer komplexen Größe:

(10)