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Die TSCHEBYSCHEff’sche Funktion erster Art T 𝑛(𝑥) ist definiert als
Wegen cos(j𝜑) = cosh 𝜑 geht T 𝑛 für |𝑥| > 1 in
über.
Nimmt man die Substitutionen
in Ausgangsgleichung 1 vor, dann erhält man für T 𝑛(𝑥) eine Parameterdarstellung durch transzendente Funktionen. Wenn 𝜑 von −𝜋/2 nach +𝜋/2 läuft, dann bewegt sich 𝑥 von −1 nach +1 und 𝑦 alterniert im gleichen Intervall. Andere Werte für 𝑥, die außerhalb des Intervalls [−1,+1] liegen, erhält man, wenn der Parameter 𝜑 imaginär wird. Für diesen Fall gilt:2
Die TSCHEBYSCHEff’schen Funktionen haben eine ganz bemerkenswerte Eigenschaft – sie sind (rekursiv) als algebraische Polynome in 𝑥 darstellbar.3
Die Rekursionsformel kann ausgehend von der Ordnung 𝑛 −1 und unter Zuhilfenahme des Additionstheoremes cos(𝛼 +𝛽) = cos 𝛼cos 𝛽 −sin 𝛼sin 𝛽 abgeleitet werden.
Mit der trigonometrischen Multiplikationsformel sin 𝛼sin 𝛽 = ![[cos(𝛼 − 𝛽)− cos(𝛼 + 𝛽)]](cheby8x.png)
/2 ergibt
sich weiter
was nach Umindizierung Gleichung 4 beweist.
Die Anfangswerte für 𝑛 = 0,1 ergeben sich direkt aus Definitionsgleichung 1.
Exemplarisch sind hier noch die nächsten Polynome aufgeführt.4
Aus Rekursionsformel 4 ist außerdem erkennbar, daß das Polynom T 𝑛(𝑥) den Grad 𝑛 besitzt.
Eine weitere Form der TSCHEBYSCHEff’schen Funktion T 𝑛(𝑥) kann man aus der Parameterbeziehung 2 erhalten, wenn man die EULER’schen Formeln der trigonometrischen Funktionen anwendet.
Aus Formel 5 kann auch der Leitkoeffizient, also der Koeffizient vor 𝑥𝑛, bestimmt werden.5 Dazu geht man von der allgemeinen Formel für ein algebraisches Polynom aus
und bildet einen Grenzwert wiefolgt:
Umstellen und Zuhilfenahme der irrationalen Darstellung 5 liefert den Wert des Koeffizienten 𝑎𝑛.
Die folgenden Werte ergeben sich direkt aus Definitionsgleichung 1.
Die TSCHEBYSCHEff’sche Funktion T 𝑛(𝑥) ist für geraden Grad 𝑛 auch eine gerade Funktion, für ungeraden Grad eine ungerade Funktion.
Die Form des Polynoms kann deshalb folgendermaßen angenommen werden.
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Der Funktionsverlauf von T 𝑛(𝑥) ist für einige Werte 𝑛 in Abbildung 1 dargestellt.
Die Funktionen T 𝑛(𝑥) approximieren im Intervall [−1,+1] für eine gegebene Ordnung die Nullinie gleichmäßig.6 Außerdem bilden die TSCHEBYSCHEff’schen Funktionen ein sogenanntes Orthogonalsystem,7 welches für 𝑛 > 0 durch die Beziehung
gekennzeichnet ist [3, S. 1.2.3.], [1, S. 22.5]. Beweisen läßt sich diese Relation ausgehend von der
Parameterdarstellung 2 und der Ableitung 𝑑𝑥/𝑑𝜑 = −sin 𝜑 = −
, wenn man das Integral
folgendermaßen schreibt:
Durch Erweiterung des Integrationsintervalls auf [−𝜋,+𝜋] erhält man ein bekanntes (vollständiges) trigonometrisches Integral.
Die rechte Seite der letzten Gleichung enthält das sogenannte KRONECKER-Symbol
Die Nullstellen 𝑥◦𝑘 sind leicht aus der (reellen) Parameterdarstellung 2 von T 𝑛(𝑥) zu bestimmen.8
Damit gilt für 𝑥◦𝑘
Die Einschränkung des Wertebereiches für 𝑘 ist an dieser Stelle sinnvoll, da sich wegen der Periodizität des Cosinus sonst Werte für 𝑥◦𝑘 wiederholen würden.9 Bei ungeradem Grad 𝑛 existiert eine Nullstelle 𝑥◦𝑘 = 0 für den Index 𝑘 = (𝑛+1)/2.
Betragsmäßig wiederholen sich also die Nullstellen wenn 𝑘 den Symmetriepunkt (𝑛+1)/2 über- bzw. unterschreitet, vgl. Abbildung 2 und [3]. Dieser Fakt kann auch durch die Beziehung 𝑥◦𝑛−𝑘+1 = −𝑥◦𝑘 ausgedrückt werden.
Die Linearfaktordarstellung des Polynoms T 𝑛(𝑥) kann mit dieser Erkenntnis und dem schon bekannten Leitkoeffizienten 2𝑛−1 vereinfacht werden. Dazu sei zuerst von ungeradem Grad 𝑛 ausgegangen.
Für gerades 𝑛 gilt
Die erste Ableitung ist zum Beispiel aus der Parameterform 2 zu gewinnen.10
Mit der (in gleicher Art und Weise gewonnenen) Ableitung von 𝑦 nach dem Parameter 𝜑
ergibt sich T ′𝑛(𝑥) zu
Die Extremwerte liegen offensichtlich bei cos(𝑘𝜋/𝑛) wobei T 𝑛(𝑥) an diesen Stellen abwechselnd die Werte ±1 annimmt. In Polynomform kann man die Ableitung von T 𝑛(𝑥) recht einfach aus Formel 7 gewinnen.
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Ähnlich wie T 𝑛 ist auch T ′𝑛(𝑥) in Abhängigkeit von 𝑛 eine gerade oder eine ungerade Funktion.
Mit den ersten Ableitungen nach dem Parameter 𝜑 kann man durch Gleichsetzen mit d𝜑 die folgende Differentialgleichung entwickeln [5, S. 45], [6, § 4].11
Sie wird durch die TSCHEBYSCHEff-Polynome T 𝑛(𝑥) = ∑ 𝑘=0𝑛𝑎𝑘𝑥𝑘 erfüllt, deren Koeffizienten 𝑎𝑘 entweder
bestimmt werden können.
