1 Algebraische Grundstrukturen

1.1 Gruppen

1.1.1 Allgemeine Definition

Eine Gruppe¹ (𝐺,⋄) ist ein algebraisches System, daß aus einer nicht-leeren Menge von Elementen 𝐺 besteht, für die eine Operation ⋄ mit folgenden Eigenschaften definiert ist [25, S. 2.1], [20, 101 ff.]:

1. die Anwendung der Operation ⋄ auf zwei Elemente muß wieder zu einem Element in 𝐺 führen (Abgeschlossenheit): ⋄ : 𝐺×𝐺 → 𝐺;
2. für alle 𝑎,𝑏,𝑐 ∈ 𝐺 muß gelten: 𝑎⋄(𝑏⋄𝑐) = (𝑎⋄𝑏) ⋄𝑐 (Assoziativität);
3. ein neutrales Element 𝑒 ∈ 𝐺 muß existieren, so daß gilt: 𝑎⋄𝑒 = 𝑎 mit 𝑎 ∈ 𝐺 (Identität);
4. für jedes Element 𝑎 ∈ 𝐺 muß ein inverses Element 𝑏 ∈ 𝐺 existieren, so daß 𝑎⋄𝑏 = 𝑒 gilt.

Die Menge 𝐺 kann aus einer endlichen oder unendlichen Anzahl von Elementen 𝑎_𝑖 bestehen. Bei einer Aufzählung der Elemente werden diese in geschweifte Klammern eingeschlossen, z. B. so: {𝑎₁,𝑎₂,…}. Ist die Zusatzbedingung 𝑎 ⋄𝑏 = 𝑏 ⋄𝑎 erfüllt, wird die Gruppe kommutativ bzw. ABEL’sch genannt.

Die Ordnung (auch Mächtigkeit oder Kardinalität) einer Gruppe ist die Anzahl der Elemente in 𝐺, geschrieben als ord(𝐺), oder auch #𝐺. Ist 𝑈 eine Teilmenge von 𝐺, d. h. 𝑈 ⊆ 𝐺, dann wird (𝑈,⋄) als Untergruppe von (𝐺,⋄) bezeichnet, wenn mit derselben Operation ⋄ auch 𝑈 alle Eigenschaften einer Gruppe erfüllt [4, S. 1.], [25, S. 2.4]. Der Zusammenhang zwischen der Ordnung von 𝑈 und der von 𝐺 wird durch den Satz von LAGRANGE beschrieben.

(1)

Die Ordnung ist danach ein Teiler von und 𝑖 der so genannte Index von 𝐺 über 𝑈 (bzw. Index von 𝑈 in 𝐺), welcher auch als 𝑖 = geschrieben wird.²

1.1.2 Additive Gruppen

Entsprechend der allgemeinen Definition wird eine Menge 𝐺 additive Gruppe (𝐺,+) genannt, wenn für sie

1. eine assoziative Operation 𝑎+(𝑏+𝑐) = (𝑎+𝑏) +𝑐 mit 𝑎,𝑏,𝑐 ∈ 𝐺 definiert ist;
2. ein neutrales (Null-) Element 𝑒₍₊₎ = 0 ∈ 𝐺 mit der Beziehung 𝑎 +0 = 0 +𝑎 = 𝑎 für alle 𝑎 ∈ 𝐺 existiert;
3. und für sie außerdem ein inverses Element −𝑎 ∈ 𝐺 zu 𝑎 ∈ 𝐺 mit der Relation 𝑎+(−𝑎) = 0 definiert ist.

Das bekannteste Beispiel einer solchen Gruppe ist die der ganzen Zahlen (Z,+).

1.1.3 Multiplikative Gruppen

Für die multiplikative Gruppe (𝐺,·) gilt äquivalent:

• eine assoziative Operation 𝑎· (𝑏· 𝑐) = (𝑎· 𝑏) · 𝑐 mit 𝑎,𝑏,𝑐 ∈ 𝐺;
• ein neutrales (Eins-) Element 𝑒_(·) = 1 ∈ 𝐺 mit der Identität 𝑎· 1 = 1 · 𝑎 = 𝑎 für 𝑎 ∈ 𝐺;
• und ein inverses Element 𝑎⁻¹ ∈ 𝐺 zu jedem 𝑎 ∈ 𝐺 mit der Relation 𝑎· 𝑎⁻¹ = 1

sind definiert. Zur Multiplikation ist zu bemerken, daß nicht-negative Potenzen eines Elements induktiv definiert sind

also durch 𝑛-malige Multiplikation.

Das Nullelement 𝑒₍₊₎ einer additiven Gruppe kann in einer multiplikativen Gruppe nicht enthalten sein, denn es ist grundsätzlich nicht invertierbar (siehe auch Abschnitt 1.3 zu den Körpern).

1.2 Ringe

Eine Menge 𝑅 nennt man einen Ring (𝑅,+,·), wenn auf ihr sowohl Addition als auch Multiplikation mit 𝑅 ×𝑅 → 𝑅 erklärt sind [25, S. 2.2]. Speziell müssen folgende Axiome gelten:

1. Bezüglich der Addition bildet 𝑅 eine ABEL’sche Gruppe (𝑅,+).

2. (𝑅,·) ist eine so genannte Halbgruppe,³ d. h.

   • (𝑅,·) ist abgeschlossen (· : 𝑅 ×𝑅 → 𝑅)
   • und es gilt das Assoziativgesetz 𝑎· (𝑏· 𝑐) = (𝑎· 𝑏) · 𝑐 für 𝑎,𝑏,𝑐 ∈ 𝑅.
3. Außerdem muß für 𝑎,𝑏,𝑐 ∈ 𝑅 das Distributivgesetz gelten 𝑎· (𝑏+𝑐) = 𝑎𝑏+𝑎𝑐.

Existiert zusätzlich noch die Identität 𝑒_(·) = 1 ∈ 𝑅 mit 𝑎·1 = 1 ·𝑎 = 𝑎 für alle 𝑎 ∈ 𝑅, dann wird (𝑅,+,·) Monoid oder Ring mit Eins genannt. Die Menge der Elemente 𝑟 ∈ 𝑅 in einem Monoid, welche mit 𝑟 · 𝑟⁻¹ = 𝑒_(·) jeweils ein inverses Element besitzen, nennt man Einheitengruppe 𝑅^∗ des Ringes. Ein Ring wird außerdem als kommutativ bezeichnet, wenn auch für die Multiplikation das Kommutativgesetz 𝑎·𝑏 = 𝑏·𝑎 gilt. Ein typisches Beispiel hierfür ist der Ring (Z,+,·) der ganzen Zahlen, denn er erfüllt offensichtlich alle Axiome.

1.3 Körper

Ein Körper 𝐾 wird durch ein System von Elementen (endlich oder unendlich) gebildet, die sich durch die definierten Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division verknüpfen lassen⁴ und für die das Distributivgesetz gilt [25, S. 2.3]. Präziser ausgedrückt:

1. (𝐾,+,·) ist ein kommutativer Ring (zu den Eigenschaften vgl. Abschnitt 1.2);
2. (𝐾 \ {0},·) ist eine kommutative Gruppe, d. h. alle Elemente ausgenommen 0 (auch geschrieben als 𝐾^∗ = 𝐾\{0}) müssen ein inverses Element besitzen.⁵

Die bekanntesten Körper sind die der

• reellen Zahlen (R,+,·),
• komplexen Zahlen (C,+,·),
• rationalen Zahlen (Q,+,·)
• sowie der endliche Körper Z₂ := {0,1}.

Eine Menge von Funktionen über einem Körper 𝐾 kann selbst auch wieder ein Körper sein, z. B. die Menge der rationalen Funktionen R(𝑥) über R, geschrieben als (R(𝑥),+,·).

1.4 Vektorraum

Eine Menge von Vektoren 𝑉 := {v₁,v₂,v₃,…}, jeder bestehend aus einem geordneten 𝑛-Tupel von Elementen 𝑎 aus einem Körper 𝐾, wird Vektorraum über dem Körper 𝐾 genannt (vgl.  [25, S. 2.5]), wenn:

1. die additive Gruppe (𝑉,+) existiert und vom ABEL’schen Typ ist (+ : 𝑉×𝑉 → 𝑉);⁶
2. für jeden Vektor v ∈ 𝑉 die Multiplikation mit einem Körperelement (Skalar) 𝑎 definiert ist und wieder zu einem Vektor u = 𝑎v ∈ 𝑉 führt (Abgeschlossenheit der Abbildung · : 𝐾 × 𝑉 → 𝑉);⁷

3. bezüglich zweier Skalare 𝑎,𝑏 und der Vektoren u,v die folgenden Distributivgesetze gelten:
   

   
4. das Assoziativgesetz (𝑎𝑏)v = 𝑎(𝑏v) gilt;
5. und es ein multiplikativ neutrales Element in Bezug auf die Vektoren in 𝑉 gibt.

Wenn mit 𝑛 die Anzahl der Tupel eines Vektors v bezeichnet wird, dann nennt man den zugehörigen Vektorraum (über dem Körper 𝐾) üblicherweise 𝑉_𝑛(𝐾) oder kurz 𝑉 = 𝐾^𝑛, also z. B. R³ oder Z₂^𝑛. Entsprechend ist auch das neutrale Element, welches als 0 = (0,0,…,0) geschrieben wird, ein Vektor mit 𝑛 Elementen.

Kann man jeden Vektor von 𝑉 als Linearkombination von unabhängigen Vektoren u₁,u₂,…,u_n ∈ 𝑈 ⊆ 𝑉 darstellen, also als

so nennt man u₁,u₂,…,u_n die Basis, 𝛼₁,𝛼₂,…,𝛼_𝑛 die Koeffizienten und 𝑛 = dim(𝑉) = die Dimension von 𝑉.

1.5 Algebra (Verband)

Eine Algebra über einem Körper 𝐾 ist eine Erweiterung des Begriffs Vektorraum in Bezug auf die Vektormultiplikation.⁸ Speziell sind es folgende Axiome, die eine Algebra auszeichnen:

1. die Menge 𝑉 ist ein Vektorraum über einem Körper 𝐾 (vgl. Abschnitt 1.4);
2. für zwei Vektoren u,v ∈ 𝑉 ist ein Produkt uv definiert und in Bezug auf 𝑉 abgeschlossen (· : 𝑉 ×𝑉 → 𝑉);
3. das Assoziativgesetz für Vektoren (uv)w = u(vw) ist erfüllt;
4. auch das Distributivgesetz läßt sich auf Vektoren anwenden: (u +v)w = uw +vw.

1.6 Zusammenfassung

Tabelle 1 gibt einen Überblick zu den verschiedenen algebraischen Grundstrukturen und ihren Existenzbedingungen.

	Addition				Multiplikation
Additive Gruppe	×		×	×
(Multiplikative) Halbgruppe					×
Monoid					×		×
Multiplikative Gruppe					×		×	×
Multiplikative ABEL’sche Gruppe					×	×	×	×
Ring	×	×	×	×	×		×		×
Schiefkörper	×	×	×	×	×		×	×	×
Körper	×	×	×	×	×	×	×	×	×